Nel primo caso la superficie si dice superficie con due facce , nel secondo si dice superficie con una
faccia.
Un esempio di una superficie con due facce è il piano, mentre con una faccia è il fioco di
Mobius.Una superficie con due facce si diceorientata se la retta perpendicolare su di essa è
orientata. In questo caso una delle facce si dice positiva l’altra negativa.
Sulla superficie S disegno una linea chiusa orientata.
La faccia si dice positiva se dalla perpendicolare si vede questa linea orientate nel verso
antiorario.
La faccia si dice negative se dalla perpendicolare si vede questa linea orientate nel verso orario.
Se la superficie S è data con l’equazione z = z (x, y), allora come positivo si prende di solito la faccia
da dove esce il vettore della perpendicolare N =(− zx ',− z ' y )1,
r. Siccome il prodotto scalare di
questo vettore con il versore dell’asse z, k = )1,0,0(
r
è un numero positivo, vuol dire che essi
formano un angolo acuto.
Sia S una superficie liscia con due facce in cui abbiamo scelto il verso positivo. Siano definiti nei
punti della S le tre funzioni con le derivate continue:
P = P(x,y,z), Q = Q(x,y,z), R = R(x,y,z)
Sia dS un pezzo infinitesimale e siano i prodotti dx dy, dx dz, dydz, le sue proiezioni sui piano
coordinativi rispettivamente xy, xz, yz.
Definizione:
Integrale di superficie di secondo tipo è l’integrale :
Pdy dz Qdx dz Rdx dy
S∫∫ + +^
Questo tipo di integrale si dice anche integrale di superficie secondo le coordinate.
Se cambiamo il verso di orientamento della perpendicolare allora questo integrale di superficie di
secondo tipo cambia segno.
Calcolo dell’integrale di superficie di secondo tipoIl calcolo dell’integrale di superficie secondo tipo dipende dalla forma come è data la superficie S.
1° Caso: la superficie S è data con il sistema delle equazioni parametriche:
nella forma vettoriale:
- _^