Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

siccome LXY è la proiezione della linea L nel piano XY, allora si ha

= ∫

L

I 1 P ( x , y , z ) dx

Ovvero

∫∫ − = ∫

S L

PZ dz dx PY dx dy P dx

' '

Nel modo analogo si possono calcolare l’integrale, I 2 , I 3. Facendo loro somma si ottiene la formula
di Stock (1), la quale può essere scritta anche con l’integrale di superficie di primo tipo:

∫

∫∫

= + +

− ⋅ + − ⋅ + − ⋅ =

L

Z X X Y

S

Y Z

Pdx Qdy Rdz

([ R ' Q ') cos( N , X ) ( P ' R ' ) cos( N , Y ) ( Q ' P ') cos( N , Z ]) ds

r r r

5. Funzione primitiva nello spazio.

Siano P = P (x, y, z), Q = Q (x, y, z), R = R (x, y, z) tre funzione definite, con le derivate prime parziali
continue nel solido T chiuso dalla superficie liscia S.
Teorema 1 :
Le proposizioni seguenti sono equivalenti:

1. L’integrale curvilineo di secondo tipo :
   ∫ + +
   AB

Pdx Q dy R dz

non dipende dalla forma del percorso che si fa dal punto A al punto B.

2) L’integrale curvilineo di secondo tipo secondo ogni linea chiusa che si trova in corpo T è

uguale a zero:

∫ + + =

L

P dx Q dy R dz (^0)
3) In ogni punto del corpo T, abbiamo:
' ' , ' ' , ' '
PY = QX RX = PZ QZ = RY
Dimostrazione segue dalla teorema di Stokes.
Si sa che differenziale dF di una funzione F = F (x, y, z) è l’espressione:
dz
z
dy F
y
dx F
x
dF F ⋅
∂
⋅ +∂
∂
⋅ +∂
∂
= ∂