Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Dividendo i due membri con dt, si ha la derivata della funzione composta F(t) = F (x(t), y(t), z(t)) :

dt

dz

z

F

dt

dy

y

F

dt

dx

x

F

dt

dF

⋅

∂

∂

⋅ +

∂

∂

⋅ +

∂

∂

=

Forma differenziale si dice ogni espressione del tipo P dx + Q dy + R dz.

Definizione 1. Forma differenziale iii ↆ∆+iv ↆ∇+v ↆ∈ si dice forma differenziale esatta
nel corpo T se

PY ' = Q ' X , RX ' = PZ ' , QZ ' = RY ' per ∀( x , y , z )∈ T

Esercizio 1.
Dimostrare che l’espressione ᡶ ᡖᡶ ㎗䙦ᡷ ㎗ᡸ䙧 ᡖᡷ ㎗䙦ᡷ ㎗2ᡸ䙧 ᡖᡸ è una forma differenziale esatta
per ogni punto (x,y,z) dello spazio.
Soluzione

PY ' = 0 = QX ' , RX ' = 0 = PZ ' , QZ ' = 1 = RY ' per ∀( x , y , z )

quindi è una forma differenziale esatta.
Esercizio 2.
Controllare se l’espressione x ᡖᡶ ㎗3ᡶᡷ ᡖᡷ ㎘ᡸ ᡖᡸ è una forma differenziale esatta.
Soluzione:

PY ' = 0 ≠ QX ' = 3 y

quindi non è una forma esatta.

Teorema 2.
Siano P(x,y,z), Q(x,y,z) , R(x,y,z) tre funzioni che hanno derivate parziali continue nelcorpo T.
Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1) La forma differenziale P dx + Q dy + R dz è esatta in ogni punto del corpo T.

2) Esiste una funzione U, che si dice primitiva, tale che il suo differenziale dU è uguale con

questa forma esatta:

dU = P dx + Q dy + R dz. ∀( x , y , z )∈ T

Dai teoremi 1, 2 segue: