Mehdi Shkreli. INTEGRALI.







=

=

z z

x x 0

con z costante e con y 0 ≤ y ≤ yquindi







=

=

0

0

dz

dx

allora si ha :

∫ + + = ∫

1 2 0

( 0 , , )

EE

y

y

Pdx Qdy Rdz Q x y z dy

Il segmento di retta E 2 E, è data come intersezione di due piani, cioè come sistema:







=

=

z z

y y

con z, y costante e con x 0 ≤ x ≤ x quindi







=

=

0

0

dz

dy

allora si ha :

∫ + + =∫

EE

x

x

Pdx Qdy Rdz P x y z dx

2 0

( , , )

In conclusione si ottiene la seguente formula più semplice per trovare la funzione primitiva:

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) )1(

0 0 0

= ∫ + ∫ 0 + ∫ 0 0 +

x

x

z

z

y

y

U x y z P x y z dx Q x y z dy R x y z dz C

Esercizio.
Trovare, se esiste, la funzione primitiva dell’espressione seguente:

dy x y z dz

y

x

2( xyz +ln y ) dx +( x^2 z + ) +(^2 − 2 )

Soluzione: ᡂ = 2 xyz +ln y , Q=
y

x^2 z + x , R= x^2 y − 2 z

Siccome si ha :

ᡂげ䖓= 2xz +

1

y=Q⤴            

䖓   , P⤶䖓= 2xy =R䖓⤴             ,                       Q⤶䖓= x⡰=R䖓⤵

allora l’espressione è il differenziale di una funzione U che possiamo trovare con la formula (1).
Come punto ( x 0 , y 0 , z 0 )scelgo (0,1,0), otteniamo:

ᡇ䙦ᡶ,ᡷ,ᡸ䙧㐄 㔅 䙦2ᡶᡷᡸ ㎗ᡤᡦᡷ䙧

け

⡨

    ᡖᡶ ㎗㔅 0 ᡖᡷ +㔅 䙦−2ᡸ䙧 ᡖᡸ

こ

⡨

げ

⡩

Ovvero
ᡇ䙦ᡶ,ᡷ,ᡸ䙧㐄 ᡶ⡰ᡷᡸ ㎗ᡶᡤᡦᡷ ㎘ᡸ⡰㎗ ᡕ

Nella fisica,funzione potenziale si dice V(x,y,z) = − U(x,y,z). Il lavoro è uguale alla differenza del
valore del potenziale nel punto iniziale meno il valore del potenziale nel punto finale.
W = V(A) - V(B) oppure W = U(B) – U(A).