Nomor 16
∫퐜퐨퐬풛풅풛=퐬퐢퐧풛
Pembuktian :
푑푑푥
(sin푧)=푑푑푥(
푒푧+푒−푧2)=
푒푧+푒−푧2=cos푧Nomor 25
∫
풅풛√풛ퟐ+풂ퟐ=퐥퐧{풛+√풛
ퟐ+풂
ퟐ}
Pembuktian ini dapat menggunakan substitusi trigonometri dengan
memisalkan 푧=
푎1tan휃=푎tan휃 atau tan휃=휋푎Selanjutnya, 푑푧=푎 푠푒푐
2휃 푑휃 maka dapat digambarkan :Untuk
√
푧
2+푎
2=√(푎tan휃)
2+푎
2=√푎
2푡푎푛
2휃+푎
2=√푎
2(푡푎푛
2휃+ 1 )
=√푎
2푠푒푐
2휃
=푎sec휃
Maka :
∫
푑푧√
푧2+푎2=
∫
푎 푠푒푐2휃푑휃푎sec휃=∫sec휃푑휃
=ln(sec휃+tan휃)+푐
=ln(
√
푧2+푎2푎+
푧푎)+푐
=ln
√푧2+푎2+푧푎+푐
=ln
푧+√푧2+푎2푎+푐
=ln(푧+√푧
2+푎
2)−ln푎+푐=ln(푧+√푧
2+푎
2)+푐
Jadi
∫
푑푧√
푧2+푎2=ln{푧+√푧2+푎
2} terbukti