BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

(⇐) misalkan ∑ 푥

푛

∞

푛= 1

konvergen ke 푎 dan ∑ 푦

푛

∞

푛= 1

konvergen ke 푏.

Akan tunjukan

∑

푧

푛

∞

푛= 1

konvergen ke 푎+푖푏. Karena 푆

푛

=

∑

푥

푘

+

∑

푦

푘

∞

푛= 1

∞

푛= 1

, menurut teorema diperoleh lim

푛→∞

푆

푛

=푎+푖푏.

Karena lim

푛→∞

푆

푛

=

∑

푧

푛

∞

푛= 1

, diperoleh

∑

푧

푛

∞

푛= 1

=푎+푖푏. Jadi terbukti

∑ 푧

푛

∞

푛= 1

konvergen.

Bukti (b) :

Diberikan bilangan ℰ> 0 sebarang. Akan dibuktikan lim

푛→∞

푧

푛

= 0 ,

berarti terdapat bilangan asli 푛

0

sehingga jika 푛>푛

0

berlaku ∣푧

푛

∣<

ℰ

Diketahui

∑

푧

푛

∞

푛= 1

konvergen, berarti terdapat bilangan kompleks 푧

sehingga berlaku

∑

푧

푛

∞

푛= 1

= lim

푛→∞

푆

푛

=푧

Jadi untuk setiap bilangan ℰ> 0 terdapat bilangan asli 푛

0

sehingga

jika 푛>푛

0

berlaku ∣푆

푛− 1

−푧∣<

ℰ

2

dan ∣푆

푛

−푧∣<

ℰ

2

Menurut ketaksamaan segitiga, diperoleh

∣푧

푛

∣=∣푆

푛− 1

−푆

푛

∣=∣(푆

푛− 1

−푧)+(푧−푆

푛

)∣≤∣푆

푛− 1

−푧∣+∣푧−푆

푛

∣

<

ℰ

2

+

ℰ

2

=ℰ

Jadi terbukti bahwa lim

푛→∞

푧

푛

= 0

Contoh :

∑

( 10 +푛)

(푛

3

+ 1 )

∞

푛= 1

=

11

4

+

12

11

+

13

30

+⋯

Untuk n besar, 푥

푛

=

( 10 +푛)

(푛

3

+ 1 )

→푦

푛

=

1

푛

3

lim

푛→∞

(

( 10 +푛)

(푛

3

+ 1 )

1

푛

3

)

lim

푛→∞

(

푛

3

+ 10 푛

2

푛

3

+ 3

)= 1 <∞

Jadi, ∑ 푧

푛

∞

푛= 1

konvergen.

6. Uji Divergensi

Jika lim

푛→∞

푧

푛

≠ 0 maka deret ∑ 푈

푛

∞

푛= 1

divergen

Bukti:

Diketahui lim

푛→∞

푧

푛

≠ 0 andaikan

∑

푈

푛

∞

푛= 1

konvergen, maka berdasarkan

uji konvergensi diperoleh lim

푛→∞

푧

푛

= 0. Sehingga terdapat kontradiksi

dengan yang diketahui. Jadi terbukti jika lim

푛→∞

푈

푛

≠ 0 mka deret

∑ 푈

푛

∞

푛= 1

divergen.

Contoh: