Pedro Luiz de Oliveira Costa Neto - Estatística (2002, Editora Blucher) - libgen.lc

68 ESTIMAÇÃO OE PARÃMETROS

4.4.1 Intervalo de confiança para a média da população quando ué

conhecido

Vamos subdividir o estudo do intervalo de confiança para a média μ da população em dois
casos: quando <J, desvio-padrão da população, é conhecido, e quando <J é desconhecido.
Iniciemos pelo primeiro caso.

Suporemos que a distribuição amostral do estimador x é normal. Conforme vimos em

3.4.1, isso ocorrerá se a população for normalmente distribuída ou, caso contrário, com boa

aproximação, se a amostra for suficientemente grande.

Devemos construir um intervalo em torno de x de forma tal que esse intervalo contenha

o valor do parâmetro com confiança 1 -a.P^11 Esse intervalo, sendo simétrico em proba-

bilidade, será também geometricamente simétrico em relação a x, devido à simetria da

distribuição amostral, no caso. Os símbolos empregados serão:

μ, média da população;

x, média da amostra;

<J, desvio-padrão da população;

n, tamanho da amostra;

e 0 , semi-amplitude do intervalo de confiança.

Adotaremos também, doravante, a convenção segundo a qual Zp denotará o particular

valor da variável normal reduzida z que determina uma cauda à direita de sua distribuição

com probabilidade P. Essa convenção é extensível a qualquer outra variável considerada. A

Fig. 4.1 ilustra graficamente a convenção aqui introduzida.

O intervalo que desejamos construir será de forma x ± e 0 • Necessitamos apenas

determinar e 0 de modo tal que esse intervalo tenha nível de confiança 1 -a. Para tanto,

imaginemos, na distribuição por amostragem de x, dois pontos, μ -e 0 e μ + e 0 , simétricos

em relação à médiaμ da distribuição, de tal modo que a probabilidade de x situar-se entre

esses dois pontos seja igual a 1 -a. Emboraμ seja o parâmetro desconhecido, podemos

representar graficamente essa situação, o que é feito na Fig. 4.2. Logo, por construção,

(4.19)

Figura 4. 1 Significado de Zp,

Zp z

[l l J A confiança, como vimos, traduz a probabilidade de que o intervalo de confiança contenha o parâmetro.

Para enfatizar que se trata de uma estimação por intervalo, damos preferência ao uso do termo co!Jfiança ao

invés de probabilidade.