Ha így mutatjuk be, akkor a redukció szinte nyilvánvalónak
látszik, és bizonyos tekintetben az is; de talán pontosabb lenne
azt mondani, hogy ez egy eszköz, amellyel olyan jól
megtanultunk bánni, hogy már elfelejtettük, micsoda ereje van.
Valóban, az egyszerű redukció működteti a püthagoreusok
bizonyítását a 2 négyzetgyökének irracionalitásáról; ez olyan
rettentő csapást mért a püthagoraszi paradigmára, hogy a
püthagoreusok megölték a szerzőjét. A bizonyítás olyan
egyszerű, kifinomult és tömör, hogy egyetlen oldalon leírhatom
az egészet.
Tegyük fel, hogy
H: a 2 négyzetgyöke racionális szám,vagyis √2 két egész szám, m és n hányadosa: m/n. Ezt a törtet
már tovább nem egyszerűsíthető alakban is felírhatjuk – vagyis
ha a számlálónak és a nevezőnek volna közös osztója, akkor
mindkettőt elosztjuk ezzel a közös tényezővel, mert ez nem
változtat a tört értékén: miért kellene 10/14-et írnunk 5/7
helyett? Fogalmazzuk át tehát a hipotézist:
H: a 2 négyzetgyöke egyenlő m/n-nel; m és n itt két, közös
tényező nélküli egész szám.
Ez azt is jelenti, hogy biztosak lehetünk benne: nem lehet m és n
is páros szám, mert ha azt mondjuk, hogy mindkettő páros,
akkor azzal azt mondjuk, hogy a 2 közös tényezőjük. Ez esetben