matematikushoz, sőt a legtöbb mindennapi emberhez
hasonlóan azt gondolta, hogy az aritmetika szokásos szabályai
igaz állítások az egész számokról, vagyis aligha mondhatnak
ellent egymásnak. De ezt nem tartotta kielégítőnek – mert arra
az előfeltevésre támaszkodott, hogy az egész számok halmaza
valóban létezik. Ezen az indokon sokan fennakadtak. Georg
Cantor néhány évtizeddel korábban elsőként helyezte szilárd
alapokra a végtelen matematikai fogalmát. Munkáját azonban
nehezen emésztették meg, és nem is fogadták el szélesebb
körben; matematikusok egy fontos csoportja úgy tartotta, hogy
a végtelen halmazok létezésére támaszkodó bizonyításokat
eleve fenntartással kell fogadni. Hogy létezne a 7-es szám, azt
mindenki készséggel elfogadta. Hogy létezne az összes szám
alkotta halmaz, az már kérdéses volt. Hilbert nagyon jó tudta,
mit tett Russell Fregével, és nagyon is tisztában volt azzal,
milyen veszélyekkel jár ötletszerűen gondolkodni végtelen
halmazokról. „A figyelmes olvasó – írta 1926-ban – azt fogja
látni, hogy a matematikai irodalom tömve van a végtelenből
fakadó ostobaságokkal és képtelenségekkel.”{^11 } (Ez a hangvétel
nem tűnne idegennek Antonin Scalia egyik-másik hevesebb
különvéleményében sem.) Hilbert egy végső
konzisztenciabizonyítást keresett, olyat, amelyik nem
támaszkodik semmiféle végtelen halmazra, s egy racionális
elmének sem lehetne más választása, mint elfogadni.
De Hilbertnek csalódnia kellett. 1931-ben Gödel a maga
nevezetes második nemteljességi tételében bebizonyította, hogy