az aritmetika ellentmondás-mentességére nem lehet véges
bizonyítást adni. Egyetlen sorral leterítette Hilbert programját.
Vagyis most aggódhatsz, hogy holnap délutánra
összeroskadhat az egész matematika? Ha ez számít, én nem
aggódom. Én hiszek a végtelen halmazokban, és eléggé
meggyőzőnek találom a végtelen halmazokra támaszkodó
ellentmondásmentesség-bizonyításokat; efelől nyugodtan tudok
aludni.
A matematikusok többsége így van ezzel, mint én, de
akadnak néhányan, akik másképpen gondolják. Egy princetoni
logikakutató, Edward Nelson 2011-ben közreadott egy
bizonyítást az aritmetika ellentmondásosságáról.
(Szerencsénkre Terry Tao néhány napon belül hibát talált a
bizonyításban.{^12 }) A Field-érmes Vlagyimir Vojevodszkij, ma a
princetoni Institute for Advanced Study kutatója 2010-ben nagy
feltűnést keltett azzal a kijelentéssel, hogy nem érzi
kétségbevonhatatlannak az aritmetika ellentmondástalanságát.
Ő és a vele együttműködők nagy nemzetközi csoportja új
javaslatot tett a matematika új megalapozására. Hilbert a
geometriával kezdte, de hamarosan arra jutott, hogy az
aritmetika ellentmondás-mentessége még sarkalatosabb kérdés.
Vojevodszkij csoportja viszont amellett érvel, hogy végül is a
geometria mindennek az alapja – nem az Eukleidész által
ismert geometria, hanem egy modernebb, homotópiaelméletnek
nevezett változata. Ez a megalapozás vajon már kétségtelen lesz