Answers 499

3a

bupper¼ 1 : 2506 , lower¼ 1 : 2493

cupper¼ 1 : 2506 , lower¼ 1 : 2493

d

R 3

¡ 3 e

¡x 22

dx¼ 2 : 4999 compared to

p

2 ¼¼ 2 : 5066

4a 18 b 4 : 5 c 2 ¼

EXERCISE 15B

1a i

x^2

2

ii

x^3

3

iii

x^6

6

iv ¡

1

x

v ¡

1

3 x^3

vi^34 x

(^43)
vii 2
p
x
bThe antiderivative ofxnis
xn+1
n+1
(n 6 =¡ 1 ).
2a i^12 e^2 x ii^15 e^5 x iii 2 e
(^12) x
iv 100 e^0 :^01 x
v^1 ¼e¼x vi 3 e
x 3
bThe antiderivative ofekxis
1
k
ekx.
3ad
dx
(x^3 +x^2 )=3x^2 +2x
) the antiderivative of 6 x^2 +4x=2x^3 +2x^2
b d
dx
(e^3 x+1)=3e^3 x+1
) the antiderivative of e^3 x+1=^13 e^3 x+1
c d
dx
(xpx)=^32 px
) the antiderivative of
p
x=^23 x
p
x
d
d
dx
(2x+1)^4 = 8(2x+1)^3
) the antiderivative of (2x+1)^3 =^18 (2x+1)^4
EXERCISE 15C
1a^14 units^2 b 213 units^2 c^23 units^2
3a 334 units^2 b 2423 units^2 c ¡2+4
p 2
3 units
2
d¼ 3 : 48 units^2 e 2 units^2
4c i
R 1
0 (¡x
(^2) )dx=¡^1
3 , the area betweeny=¡x
2
and thex-axis fromx=0to x=1is^13 units^2.
ii
R 1
0 (x
(^2) ¡x)dx=¡ 1
6 , the area between y=x
(^2) ¡x
and thex-axis fromx=0to x=1is^16 units^2.
iii
R 0
¡ 23 xdx=¡^6 , the area between y=3x
and thex-axis fromx=¡ 2 to x=0is 6 units^2
d¡¼
EXERCISE 15D
1 dy
dx
=7x^6 ,
R
x^6 dx=^17 x^7 +c
2 dy
dx
=3x^2 +2x,
R
(3x^2 +2x)dx=x^3 +x^2 +c
3 dy
dx
=2e^2 x+1,
R
e^2 x+1dx=^12 e^2 x+1+c
4
dy
dx
= 8(2x+1)^3 ,
R
(2x+1)^3 dx=^18 (2x+1)^4 +c
5
dy
dx
=^32
p
x,
Rp
xdx=^23 x
p
x+c
6 dy
dx
=¡^1
2 x
p
x
,
Z
1
x
p
x
dx=¡p^2
x
+c
7
dy
dx
=¡2 sin 2x,
R
sin 2xdx=¡^12 cos 2x+c
8
dy
dx
=¡5 cos(1¡ 5 x),
R
cos(1¡ 5 x)dx=¡^15 sin(1¡ 5 x)+c
9
R
(2x¡1)(x^2 ¡x)^2 dx=^13 (x^2 ¡x)^3 +c
11
dy
dx

¡ 2
p
1 ¡ 4 x
,
Z
1
p
1 ¡ 4 x
dx=¡^12
p
1 ¡ 4 x+c
EXERCISE 15E.1
1ax
5
5
¡x
3
3
¡x
2
2
+2x+c bx^5 ¡x^4 ¡ 2 x^3 ¡ 7 x+c
c^23 x
(^32)
+ex+c d 3 ex+^13 x^3 +c
e^25 x
(^52)
¡ 2 x+c f¡ 2 x
¡^12
+2x^2 +c
g^18 x^4 ¡^15 x^5 +^34 x
(^43)
+c h x
2
4
+^13 x^3 ¡ex+c
i 5 ex+ 121 x^4 ¡^23 x
(^32)
+c
2a¡3 cosx¡ 2 x+c b 2 x^2 ¡2 sinx+c
c¡cosx¡2 sinx+ex+c d^27 x^3 px+ 10 cosx+c
e^19 x^3 ¡^16 x^2 + sinx+c fcosx+^43 xpx+c
3a^13 x^3 +^32 x^2 ¡ 2 x+c b^23 x
(^32)
¡ 2 x
(^12)
+c
c 2 ex+
1
x
+c d ¡ 2 x
¡^12
¡ 8 x
(^12)
+c
e^43 x^3 +2x^2 +x+c f^13 x^3 +2x¡^1
x
+c
g^43 x
(^32)
¡ 2 x
(^12)
+c h 2 x
(^12)
+8x
¡^12
¡^203 x
¡^32
+c
i^14 x^4 +x^3 +^32 x^2 +x+c
4a^23 x
(^32)
+^12 sinx+c b 2 et+ 4 cost+c
c3 sint+ cost+c
5ay=6x+c by=^43 x^3 +c
cy=^103 x
p
x¡^13 x^3 +c dy=¡^1
x
+c
ey=2ex¡ 5 x+c fy=x^4 +x^3 +c
6af(x)=x¡ 2 x^2 +^43 x^3 +c
bf(x)=^23 x
(^32)
¡ 4
p
x+c cf(x)=x+^5
x
+c
EXERCISE 15E.2
1af(x)=x^2 ¡x+3 bf(x)=x^3 +x^2 ¡ 7
cf(x)=ex+2
p
x¡ 1 ¡e df(x)=^12 x^2 ¡ 4
p
x+^112
2af(x)=
x^3
3
¡4 sinx+3
bf(x) = 2 sinx+ 3 cosx¡ 2
p
2
y
O x
1
y=e

• x% 22

-3 3

cyan magenta yellow black

(^05255075950525507595)
100 100
(^05255075950525507595)
100 100 IB HL OPT
Sets Relations Groups
Y:\HAESE\CAM4037\CamAdd_AN\499CamAdd_AN.cdr Tuesday, 8 April 2014 8:40:21 AM BRIAN