248 Chapter 9Functions of several variables
9.2 Graphical representation
We saw in Section 2.2 that a (real) function of one variable defines a curvein a plane;
for example, the graph ofy 1 = 1 x
21 − 12 x 1 − 13 is shown in Figure 2.1. A function of two
independent variables,z 1 = 1 f(x, y), defines a surfacein a three-dimensional space.
1In Figure 9.1, Ox, Oy, and Ozare three perpendicular axes, the pair of values (x,y)
specifies a point in the (horizontal) xy-plane, and the value of the function is represented
by the point P at height zabove the plane (coordinate systems in three dimensions are
discussed in Chapter 10). As the point (x,y)moves in the xy-plane, the locus of the
point P maps out a surface; that is, the point P moves on the surface, and the surface
is the representation of the function.
It is possible to draw beautiful three-dimensional representations of functions of
two variables by means of modern computer graphics, but such complete physical
representations are not possible for functions of three or more variables. In the
general case, a function of several variables can be visualized, at least in part, by assigning
values to all the variables except one, and plotting the resulting function of the one
variable only. Examples of such plots are Figures 4.1 and 4.2 for the volume of the
perfect gas,V 1 = 1 f(p, T, n) 1 = 1 nRT 2 p. Figure 4.1 is the graph of Vas a function of Twith
pand nheld constant, whilst Figure 4.2 is the graph of Vas a function of pat constant
Tand n. Such simple graphs are often the most useful representation of a function.
Figure 9.2 shows graphs of the function (9.1) as a function of xfor several values of y.
1The representation of surfaces by functions of two variables and the concept of partial derivatives were first
considered by Leibniz in the 1690’s.
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y
x
z
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.x
y
z
p
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Figure 9.1
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............................f(x,y)
x
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y=0
y=2
y=1
y=3
Figure 9.2