12.5 The harmonic oscillator 351
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−A
A..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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..x
energy
V(x)
T(x)
E=T+V
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Figure 12.4
Energetics
The harmonic oscillator is a conservative system (see Section 5.7) and the force
F 1 =−kxis the derivative of a potential-energy function,F 1 = 1 −dV 2 dx. The potential
energy is therefore the integral
The potential energy is chosen, by convention, to be zero at the equilibrium position,
whenx 1 = 10. Then
(12.40)
The kinetic energy is T 1 = 1 mv
222 , where vis the velocity, and the total energy is
E 1 = 1 T 1 + 1 V. For the state of the system described by solution (12.38),
x 1 = 1 A 1 cos 1 ωt, v 1 = 1 x′ 1 = 1 −Aω 1 sin 1 ωt
so that
and
sinceω
21 = 1 k 2 m. The total energy is therefore the constant
(12.41)
The relation between the potential and kinetic energies is shown in Figure 12.4.
At maximum displacement from equilibrium, x 1 = 1 A, the potential energy has its
maximum value, V 1 = 1 E, and the kinetic energy is zero. As the body approaches the
ETV kA=+ =
1
2
2Tm mA tkA t== =
1
2
1
2
1
2
2 222 22v ωωsin sin ω
Vkx kA== t
1
2
1
2
222cos ω
Vkx=
1
2
2Vx
dV
dx
()==−=+ZZdx F dx kx c
1
2
2