The Chemistry Maths Book, Second Edition

354 Chapter 12Second-order differential equations. Constant coefficients

The total probability that the particle be in the box is unity so that, integrating over

the length of the box,

Therefore , and the normalizedsolutions are

(12.53)

The graphs of the first three of these solutions are shown in Figure 12.6. These

graphs show that the wave functionψ

n

has (n 1 − 11 ) zeros, or nodes, between the end

points. This is a demonstration of a general property of wave functions; the number

of zeros (nodal points, curves or surfaces) increases as the energy of the system

increases.

0 Exercises 24, 25

The particle in a box is important in the physical sciences not only as one of the

simplest solvable problems that demonstrate the phenomenon of quantization, but

also because the system, when generalized to three dimensions, is used in statistical

thermodynamics to derive the thermodynamic properties of the ideal gas. We now

use the solutions (12.53) to demonstrate an important property of solutions of the

Schrödinger equation.

Orthogonality

The Schrödinger equation for the particle in a box can be written as

or

Hψ 1 = 1 Eψ (12.54)

−





















=



22

2

2 m

d

dx

ψψE

ψ

n

x

l

nx

l

() sin=

2 π

dl

2

= 2

1

2

0

2

2

2

0

2

2

2

==ZZ=

ll

xdx d

nx

l

dx d

l

ψ () ( ) sin ( )

π

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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0 l

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x

ψ

1

(x)

n=1

.

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0 l

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ψ

2

(x)

n=2

.

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0 l

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ψ

3

(x)

n=3

.

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Figure 12.6