The Chemistry Maths Book, Second Edition

15.4 Fourier series 429

The coefficientsb

n

. By equation (15.39),

We havecos 1 nπ 1 = 1 + 1 when nis an even integer, andcos 1 nπ 1 = 1 − 1 when nis odd. It

follows thatb

n

is nonzero only when nis odd:

nodd (15.45)

By the results (15.43) to (15.45), the Fourier series of the function (15.42) is therefore

(15.46)

To illustrate the behaviour of the series we consider the n-term approximations

(partial sums),

• 
  

The graphs of the first four partial sums are shown in Figure 15.7.

Sx

xx

4

1

2

23

3

5

5

=+ + +













π

sin

sin sin

Sx

x

3

1

2

23

3

=+ +













π

sin

sin

Sx

2

1

2

2

=+

π

sin

S

1

1

2

=

=+ + + +













1

2

23

3

5

π 5

sin

sin sin

x

xx



fx

a

( )=++++bxbxbxsin sin sin

0

13 5

2

35 

b

n

n

=,

2

π

b f x nxdx nxdx

n

===−

−

++

111

0

0

πππ

π

ππ

π

ZZ()sin sin

coss

(cos)

nx

nn

n

















=−

1

1

π

π

• 1

−π +π

............................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

S

1

0

S

1

=

1

2

+1

−π +π

............................................................................................................................

.

......

.....

......

......

.......

.....

.......

......

.....

.......

.....

.......

......

.......

.....

........

......

......

.......

.......

.......

.......

........

........

..........

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......................

....

......................

..........

..........

........

........

.......

.......

.......

.......

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......

........

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.......

......

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.......

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......

.......

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.......

......

......

.....

......

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......

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......................

........

......................

..........

........

.........

........

......

........

.......

......

.......

......

.......

......

.......

.....

.......

......

......

......

.......

.....

......

.......

.....

.......

.....

......

S

2

0

S

2

=

1

2

• 
  

2

π

sinx

+1

−π +π

............................................................................................................................

.....

.....

.....

.....

......

......

.....

....

......

......

.....

......

.....

......

.....

.....

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.......

.....

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......................

.........

.........

........

........

.......

.........

................................

.........

.......

........

........

.........

.........

......................

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................

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......

.....

....

......

.

S

3

0

S

3

=

1

2

• 
  

2

π

(

sinx+

sin 3 x

3

)

+1

−π +π

............................................................................................................................

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

......

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..

...........

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...................

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......

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.

S

4

0

S

4

=

1

2

• 
  

2

π

(

sinx+

sin 3 x

3

• 
  

sin 5 x

5

)

Figure 15.7