The Chemistry Maths Book, Second Edition

16.2 Vector algebra 447

EXAMPLE 16.1Show that the diagonals of a parallelogram bisect each other.

In Figure 16.6, C is the midpoint of diagonal OD, and C′is the midpoint of AB.

Then

Also

But Therefore

The midpoints C and C′ therefore coincide.

EXAMPLE 16.2Show that the mean of the position

vectors of the vertices of a triangle is the position vector of

the centroid of the triangle.

In Figure 16.7, the vertices A and B have positions (position

vectors) aand brelative to vertex O (with null position vector

0 ). The mean of the position vectors of the vertices is

therefore

It is shown in Example 16.1 that if C is the mid point of AB then

Therefore

and the mean lies on the line joining the vertex O to the midpoint of the opposite

side. Similarly for the position with respect to the two other vertices, so that X lies at

the point of intersection of these lines, and this is the centroid of the triangle.

0 Exercise 1

OX OC

=

2

3

OC

=+().ab 2

OX OO OA OB

=++=++=+

1

3

1

3

1

3

()()() 0 ab ab

OC′=+ − = + =OC

aba ab

1

2

1

2

()()

AB

=ba−−.

OC OA AC′=+′=+AB

a

1

2

OC OD OA AD

== +=+

1

2

1

2

1

2

()()ab

..

......

......

.....

......

.....

......

......

.....

......

......

.....

......

.....

......

......

.....

......

.....

......

.....

......

......

.....

......

......

.....

......

.....

......

......

.....

......

......

.....

.....

......

......

.....

......

......

.....

......

.....

......

......

..

..

...

...

...

..

...

...

...

...

...

..

...

...

...

...

..

...

...

...

..

...

...

...

...

...

..

...

...

...

...

..

...

...

...

..

...

...

...

...

...

..

...

...

...

...

..

...

....

....

...

...

....

....

...

....

...

....

...

....

...

....

...

....

...

....

...

....

...

....

....

...

...

....

....

...

....

...

....

...

....

...

....

...

....

....

...

...

....

....

...

....

a

b

o a

bd

cc

′

••

......................................................................................................................................................................................

.............

.........

...

...............

.............

..

.. ...........................................................................................................................................................................

......

.....

.....

......

......

.....

......

......

.....

......

.....

......

......

.....

......

......

.....

......

.....

......

......

.....

......

....

......

.....

....

......

.....

....

.......

........

.......

.......

....

......

.....

.....

......

......

.....

......

......

.....

......

.....

......

......

.....

......

......

.....

.....

......

......

.....

......

.

Figure 16.6

..

......

......

.....

......

.....

......

......

.....

......

......

.....

......

.....

......

......

.....

......

.....

......

.....

......

......

..

..

...

....

....

...

...

....

....

...

....

...

....

...

....

...

....

...

....

...

....

...

....

...

....

....

...

...

....

....

...

....

...

....

...

....

...

....

...

....

....

...

...

....

....

...

....

a

b

o a

b

c

x

• 
  

......................................................................................................................................................................................

.............

.........

...

...............

.............

..

.. ...........................................................................................................................................................................

......

.....

.....

......

......

.....

......

......

.....

......

.....

......

......

.....

......

......

.....

......

.....

......

......

.....

......

....

......

.....

....

......

.....

....

.......

........

.......

.......

....

......

.....

.....

......

......

.....

......

......

.....

......

.....

......

......

.....

......

......

.....

.....

......

......

.....

......

.

Figure 16.7