The Chemistry Maths Book, Second Edition

16.3 Components of vectors 449

The rules of vector algebra can then be formulated in terms of vector components,

and it is in this way that vectors are used for the solution of physical problems.

3

We

consider the vectors

a 1 = 1 (a

x

, a

y

, a

z

) b 1 = 1 (b

x

, b

y

, b

z

)

(i) Equality.The vectors are equal when their corresponding components are

equal,

a 1 = 1 b if a

x

1 = 1 b

x

, a

y

1 = 1 b

y

and a

z

1 = 1 b

z

(16.9)

(ii) Addition.The suma 1 + 1 bis obtained by adding the corresponding components,

a 1 + 1 b 1 = 1 (a

x

1 + 1 b

x

, a

y

1 + 1 b

y

, a

z

1 + 1 b

z

) (16.10)

This is illustrated in Figure 16.12 for vectors in a plane.

3

Hamilton discovered quaternions in his search for an algebra of 3-dimensional complex numbers. They have

the forma 1 + 1 bi 1 + 1 cj 1 + 1 dk, with rules of combinationi

2

1 + 1 j

2

1 + 1 k

2

1 = 1 −1,ij 1 = 1 k 1 = 1 −ji,jk 1 = 1 i 1 = 1 −kj,ki 1 = 1 j 1 = 1 −ik. Hamilton

called athe scalar part andbi 1 + 1 cj 1 + 1 dkthe vector part. He discovered the rules whilst walking with his wife along

the Royal Canal on 16 October 1843, a Monday, and he carved them on a stone on Brougham Bridge.

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y

x

z

a

a

x

i

a

y

j

a

z

k

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Figure 16.11

a+b

a

b

x

y

a

x

b

x

a

y

b

y

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Figure 16.12