On remplace λ par sa valeur dans l’expression de ω, il vient que :
ω =
μ*−rf(μe)′ (^) Ω− (^1) μeΩ
− (^1) μe , σp (^2) =ω′Ω ω et μp=ω′μ (^) P
Pour l’application numérique, on prendra comme valeurs :
μ 1 = 15 % σ 1 = 24 %, μ 2 = 26 % σ 2 = 37 %, μ*= 18 % ρ 12 = 0.8, rf = 5 %
La solution optimale avec les données ci-dessus, permet de détenir un por-
tefeuille avec un rendement μpe= 13 %et une volatilité mesurée par l’écart
type de σp= 22,77%. Ce portefeuille étant structuré comme suit :
ω 1 = −17,27%, ω 2 =70,12% et ω 3 =47,13%. La valeur de λ qui représente la
prime de risque attendue ajustée par le risque est positive, elle est de
λ =39,88%. Toutes choses égales par ailleurs, on remarque que la pré-
sence d’un actif sûr permet de d’améliorer la qualité de la solution optimale.
En effet, pour le même niveau de rendment, on obtient un portefeuille avec
un risque plus faible, on passe de σp=26,24%à σp =22,77%. Pour atteindre
ce résultat, la solution optimale donne une structure du portefeuille complè-
tement différente matérialisée par la vente à découvert du titre 1 et l’investis-
sement dans les titres 2 et 3.
En faisant les mêmes calculs mais pour une corrélation forte et négative
ρ 12 =−0,8 on s’aperçoit que la solution optimale en présence d’actif sûr à
complètement changé au profit d’une bonne diversification entre les titres
risqués avec ω 1 = 53,96%, ω 2 =36,21% et ω 3 = 9,83%donnant lieu à un ren-
dement attendu en excès du taux sans risque μpe= 13 %avec un risque ré-
duit à σp=8,34%. La prime de risque à aussi baissé, elle n’est plus qu’à
λ =5,35%. Les choses ne vont pas de la même manière en l’absence de
l’actif sûr, les proportions n’ont pas changé mais le risque du portefeuille a
beaucoup baissé, il est passé à σp =11,16%pour le même niveau de rende-
ment μp= 18 %.