Esercizio.
Sia un punto materiale di massa M fissata nel punto O dello spazio. Calcolare il lavoro che si
compie dalla forza gravitazionale della massa M quando un punto materiale di massa m si sposta
dal punto A (x 1 , y 1 , z 1 ) nel punto B (x 2 , y 2 , z 2 ).
Soluzione.
Si sa che la forza gravitazionale tra le masse m e M è data con la formula :
ᠲጘ= −ᡣ ᡥ ᠹ
ᡰ⡱ ᡰጘ^dove ᡰጘ =ᡶ ⠵ጘ㎗ᡷ ⠵ጘ㎗ ᡸ ⠵ጘ è il raggio vettore della massa m, mentre ᡰ 㐄 㒓ᡶ⡰㎗ᡷ⡰㎗ᡸ⡰.
Si può dimostrare che il differenziale totale ᡖᡰ 㐄けぅ ᡖᡶ ㎗げぅ ᡖᡷ ㎗ こぅ ᡖᡸ.
Le proiezioni algebriche di questa forza sugli assi delle coordinate saranno:
ᡂ 㐄 ㎘ᡣ ᡥ ᠹ
ᡰ⡱ ᡶ , ᡃ = −ᡣ ᡥ ᠹ
ᡰ⡱ ᡷ , ᡄ = −ᡣ ᡥ ᠹ
ᡰ⡱ ᡸ^Si può provare che si ha :
' ' , ' ' , ' '
PY = QX RX = PZ QZ = RY
quindi esiste la funzione primitiva U che si calcola con la formula (1).
Noi vogliamo trovare il lavoro dal punto A in B , quindi :
ᡉ = ᡈ䙦ᠧ䙧㎘ᡈ䙦ᠨ䙧㐄 㔅 ᡂ ᡖᡶ ㎗ᡃ ᡖᡷ ㎗ᡄ ᡖᡸ〃
。ᡉ㐄 ㎘ᡣᡥᠹ 㔅ᡶ ᡖᡶ ㎗ᡷ ᡖᡷ ㎗ᡸ ᡖᡸ
ᡰ⡱〃
。㐄 ㎘ᡣᡥᠹ 㔅ᡖᡰ
ᡰ⡰〃
。㐄 ㎘ᡣᡥᠹ㐨㎘1
ᡰ㐲。〃ABOmrxzy