Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

La formula di Gauss - Ostrogradskij si può scrivere anche con l’integrale di superficie di primo tipo:

∫∫∫ + + =∫∫ + +

T S

( Px Qy Rz ) dx dy dz [ P cos( N , x ) Q cos( N , y ) R cos( N , z )] dS

' ' ' r r r

Teorema.
Sono equivalenti le seguenti affermazioni:

1. 
   

   Px '+ Qy ' + Rz ' =^0 per ∀( x , y , z )∈ T

   
   


2. 
   

   ∫∫ + +
   S

   
   

[ P cos( N , x ) Q cos( N , y ) R cos( N , z )] dS

r r r

= 0;

3. Pdy dz Qdz dx Rdx dy
   S

∫∫ + + = 0.

Dimostrazione: segue dalla formula Gauss - Ostrogradskij e dalla formula del legame tra gli
integrali di superficie di primo e di secondo tipo.
Esercizio.

Sia S ={( x , y , z )∈ R^3 : x^2 + y^2 ≤ ,1 0 ≤ z ≤ 1 } e sia F ∈ C^1 ( T ),

calcolare

I F '( x , y , z ) dx dy dz.

T

=∫∫∫ y

Soluzione:
Pongo S la superficie che chiude il corpo T.
Dalla formula di Gauss-Ostrogradskij, si ottiene:

= ∫∫∫ = ∫∫

T S

I Fy ( x , y , z ) dx dy dz F ( x , y , z ) dx dz

'

La S contiene tre superfici: due cerchi nei piani z = 0 e z = 1 e una superficie cilindrica a raggio 1,
tra questi due piani, quindi il nostro integrale destra è la somma di tre integrali di superficie.

z

x

y

1

1