Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

da qui si ottiene il risultato :

㔅㒓x⡰+k  dx   =

x

2 ∙ 

㒓x⡰+k+k

2   ln䚘x+

㒓x⡰+k䚘+c

Esercizi. Calcolare per parti.

1. (^) ᔖᡶ⡰lnᡶ ᡖᡶ


2. (^) ᔖᡶln䙦3ᡶ −2䙧 ᡖᡶ


3. ᔖx sin xᡖᡶ


4. ᔖᡶ ᡗけ ᡖᡶ


5. (^) ᔖx⡰ e⡹⤴ᡖᡶ


6. (^) ᔖx⡰ e⤴ᡖᡶ


7. ᔖ arctg x ᡖᡶ


8. ᔖx arctg x ᡖᡶ


9. (^) ᔖᡗけsinᡶ ᡖᡶ


10. (^) ᔖᡗ〨け sinᡔᡶ ᡖᡶ


11. ᔖᡗ〨け cosᡔᡶ ᡖᡶ


12. (^) ᔖ√5−ᡶ⡰ ᡖᡶ


13. (^) ᔖ√ᡶ⡰−5 ᡖᡶ

5. Integrazione per sostituzione ( o per cambiamento di variabile).
   Spesso il calcolo di un integrale

㔅ᡘ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ

si semplifica quando si cambia il variabile d’integrazione x con un’altra variabile t legata alla
precedente da un’opportuna relazione.

Teorema:

Sia x = g(t), dove g è una funzione invertibile, non constante con la derivata continua,

e sia t = h(x) la sua funzione inversa.

Allora

se ho calcolato ᔖᡘ䙦ᡙ䙦ᡲ䙧䙧    ᡙ′䙦ᡲ䙧   ᡖᡲ = F(t) + c allora ᔖᡘ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ = F(h(x)) + c

Dimostrazione:

Basta dimostrare che la derivata [ᠲ䙦ℎ䙦ᡶ䙧]′= ᡘ䙦ᡶ䙧

Si ha

[ᠲ䙦ℎ䙦ᡶ䙧]′= ᠲ′䙦ᡲ䙧∙ℎ′䙦ᡶ䙧= ᡘ㐵ᡙ䙦ᡲ䙧㐹∙ᡙ′䙦ᡲ䙧∙ℎ′䙦ᡶ䙧=    ᡘ㐵ᡙ䙦ᡲ䙧㐹 = ᡘ䙦ᡶ䙧

avendo per ipotesi ᠲ′䙦ᡲ䙧= ᡘ㐵ᡙ䙦ᡲ䙧㐹∙ᡙ′䙦ᡲ䙧

ed sapendo che il prodotto delle derivate delle funzioni inverse ᡙ′䙦ᡲ䙧∙ℎ′䙦ᡶ䙧= 1.    

c.v.d.