Esercizi.
- (^) ᔖᡕᡧᡱ ⡰ ᡶ ᡱᡡᡦ ⡲ ᡶ ᡖᡶ
- ᔖᡕᡧᡱ ⡴ ᡶ ᡱᡡᡦ ⡰ ᡶ ᡖᡶ
- Integrali che si trasformano negli integrali di funzioni razionali.
10.1 Integrali del tipo:
㔅 v㐵∁↑↖ 䙦∆䙧,ↅ↗∁ 䙦∆䙧㐹 ↆ∆dové R è una funzione razionale. Integrali di questo tipo si trasformano in un’integrale di una
funzione razionale con la sostituzione:
ᡲ = ᡲᡙᡶ
2Da qui si ricava ᡶ = 2 ᡓᡰᡕᡲᡙ 䙦ᡲ䙧 ᡥᡗᡦᡲᡰᡗ ᡖᡶ = ⡩⡸ぇ⡰ㄘ ᡖᡲ
Dalla trigonometria si sa che sinᡶ =⡩⡸ぇ⡰ぇㄘ ᡕᡧᡱᡶ = ⡩⡹ぇ
ㄘ
⡩⡸ぇㄘ^Esempio. Calcolare l’integrale indefinito:
㔅❸
∁↑↖ ∆−❹ ↅ↗∁∆ ↆ∆ = 㔅❸
❹∂
❸+∂❹−❹䙦❸−∂❹䙧
❸+∂❹ .❹
❸+∂❹ ↆ∂ = 㔅ↆ∂
∂❹+∂−❸= ⋯..^10.2 Integrali con radici di indice diverso del tipo:㔅v㐵 √∆↕❸↖❸
, √∆↕❹↖❹
, √∆↕➀↖➀
㐹 ↆ∆dové R è una funzione razionale. Integrali di questo tipo si trasformano in un’integrale di una
funzione razionale, trovando il minimo comune multiplo (MCM) degli indici e facendo con la
sostituzione:
ᡶ = ᡲぁ ᡖᡧᡴè ᡦ = X⅙X 䙦 ᡦ⡩,ᡦ⡰,ᡦ⡱䙧
Esempio. Calcolare l’integrale indefinito :
㔅❸ +➀√∆❹
√➁∆➀−√∆ ↆ∆Soluzione: Il minimo comune multiplo delle indici delle radici è n = MCM ( 3, 4, 2 ) = 12,
quindi bisogna sostituire
ᡶ = ᡲ⡩⡰ ᡖᡓ ᡩᡳᡡ ᡱᡡ ᡧᡲᡲᡡᡗᡦᡗ ᡖᡶ = 12 ᡲ⡩⡩ ᡖᡲ
㔅❸ +➀√∆❹
√➁∆➀−√∆ ↆ∆ = ❸❹ 㔅❸ +∂➅
∂➆−∂➃ ∂❸❸ ↆ∂ = 㔅∂➂+∂❸➀
∂➀−❸ ↆ∂ = ⋯....^