I =^3
2 2 2 3
(^00)
2
3
2
2 3
( )^1
2
1
2
2 2 2 2
ydx dy dx ydy dx y r x dx r x x r
r
r
r
r
r r x
r
r x r
D r
=
= − = −
= = +
− −
- −
−
−
−
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Nota: Negli esercizi più complicati è consigliabile calcolare separatamente l’integrale interno.
- Cambio delle variabili nell’integrale doppio.
Nei casi in qui è difficile calcolare l’integrale doppio allora si fa il cambio delle variabili:
ᡆ: 㐠ᡶ 㐄 ᡶ䙦ᡳᡷ = ᡷ䙦ᡳ,ᡴ䙧,ᡴ䙧 ̄ ᡨᡗᡰ ∀䙦ᡳ,ᡴ䙧∈ ᠰ䖓 䙦1䙧Il cambio è possibile matematicamente se esiste se anche le funzione inversa :
ᡆ⡹⡩: 㐠ᡳ = ᡳ䙦ᡶ,ᡷ䙧ᡴ = ᡴ䙦ᡶ,ᡷ䙧 ̄ ᡨᡗᡰ ∀䙦ᡶ,ᡷ䙧∈ ᠰ 䙦2䙧In altre parole la funzione ᡆ:ᠰ䖓→ ᠰ ᡔᡡᡱᡧᡙᡦᡓ ᡗᡱᡱᡗᡰᡗ ᡔᡡᡗᡲᡲᡡᡴᡓ. Si dimostra che per esistenza
del cambio T bisogna che le funzioni x(u,v), y(u,v) abbiano le derivati parziali continue.
Si dice jacobiano del cambio delle variabili T date con le formule (1) , il determinante:
ᠶ䙦ᡳ,ᡴ䙧= 䜠′′′ᡶ
′′′ᡳ′′′ᡶ
′′′ᡴ
′′′ᡷ
′′′ᡳ′′′ᡷ
′′′ᡴ䜠 䙦3䙧Il jacobiano del cambio inverso ᡆ⡹⡩:ᠰ → ᠰ䖓 sarà il determinante :
ᠶ䙦ᡶ,ᡷ䙧=䜠䜠′′′ᡳ
′′′ᡶ′′′ᡳ
′′′ᡷ
′′′ᡴ
′′′ᡶ′′′ᡴ
′′′ᡷ䜠䜠^I cambi T e T -1 sono funzioni inverse di una con l’altra, perciò il prodotto dei loro jacobiani vale
uno:
ᠶ䙦ᡳ,ᡴ䙧∙ᠶ䙦ᡶ,ᡷ䙧= 1 䙦4䙧
Questa formula spesso è molto utile per calcolare jacobiano.
Si dimostra che tra le aree elementari dxdy nella zona D , e l’area corrispondente elementare
dudv nella zona D’ sussiste la relazione:
ↆ∆ↆ∇ = |VII䙦∃,∄䙧|ↆ∃ↆ∄
Partendo da questo relazione il jacobiano si dice anche il coefficiente di deformazione dello
spazio.
dudvv
D'udxdyxy
D
T^