Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

7. IL calcolo della funzione primitiva nel piano.

Fissiamo adesso il punto (x 0 , y 0 ) e sia (x,y) un punto qualsiasi. Allora dalla formula (1) avremmo

∫ + = −

( , )

( , )

0 0

0 0

( , ) ( , )

x y

x y

Pdx Qdy U x y U x y

Da qui si ottienela formula per determinare la funzione primitiva.

= ∫ + +

( , )

( 0 , 0 )

( , ) ( , ) ( , ) ( 2 )

x y

x y

U x y P x y dx Q x y dy c

Nella formula (2) la costante c = U(x 0 , y 0 ) ci dice che sono un infinità di funzioni primitive.

Possiamo trovare la primitiva in questi due modi.

7.1 Primo modo del calcolo della primitiva
si ricava dal percorso di integrazione di una funzione di più variabili.
Sia data la forma differenziale esatta

ᡂᡖᡶ ㎗ᡃᡖᡷ 㐄 ᡖ ᡇ 㐄    

′′′ ᡇ

′′′ᡶ ᡖᡶ ㎗   

′′′ ᡇ

′′′ᡶ ᡖᡷ^

1) Scelgo tra P e Q il componente più semplice da integrare, per esempio P dx e trovo

ᡇ䙦ᡶ,ᡷ䙧㐄 㔅

′′′ ᡇ

′′′ᡶ ᡖᡶ 㐄 㔅ᡂ䙦ᡶ,ᡷ䙧ᡖᡶ     㐄       ᡙ䙦ᡶ,ᡷ䙧㎗ ᠩ䙦ᡷ䙧^

ᡇ䙦ᡶ,ᡷ䙧㐄 ᡙ䙦ᡶ,ᡷ䙧㎗ᠩ䙦ᡷ䙧                                 䙦3䙧

2) Troviamo adesso la funzione sconosciuta C(y) facendo la derivata parziale rispetto a y ed

uguagliando al componente Q.

′′′

′′′ᡷ 㐵ᡙ䙦ᡶ,ᡷ䙧㎗ᠩ䙦ᡷ䙧㐹 㐄 ᡃ^

′′′ᡙ

′′′ᡷ    ㎗   

ᡖᠩ

ᡖᡷ 㐄 ᡃ^

ᠩ䙦ᡷ䙧㐄 㔅㐶ᡃ ㎘

′′′ᡙ

′′′ᡷ 㑀ᡖᡷ^