Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

2° Caso. La superficie S è data con l’equazione esplicita z = z(x,y) e sia D xy la sua

proiezione nel piano xy.

In questo caso la S è regolare rispetto all’asse z.
Pongo come se fosse S nella forma parametrica con i parametri x,y:

S: 㐡

ᡶ 㐄 ᡶ

ᡷ 㐄 ᡷ

ᡸ 㐄 ᡸ䙦ᡶ,ᡷ䙧

̄ᡕᡧᡦ            䙦ᡶ,ᡷ䙧 ∈ ᠰけげ

Il vettore perpendicolare sulla dS nel punto (x,y,z) di questa superficie in questo caso sarebbe:

ᡀ䙒䙒ጘ㐄 㐶㘨

0 ᡸけ䖓

1 ᡸげ䖓㘨,㘨

ᡸけ䖓 1

ᡸげ䖓 0 㘨,䚘

1 0

0 1䚘㑀 quindi ᡀ

䙒䙒ጘ= 㐵−ᡸけ䖓; −ᡸげ䖓;   1㐹.

quindi elemento d’area dS della superficie S, in questo caso sarebbe:

ds = ( zx )'^2 +( zy )'^2 + 1 dx dy

mentre l’integrale di superficie di primo tipo si calcola con l’aiuto dell’integrale doppio con la
formula:

( , , ) f(x, y, z(x, y)) ( )' ( )' 1 dx dy

Dxy

2 2

∫∫ = ∫∫ x + y +

S

f x y z dS z z (2)

Esercizio 2
Trovare l’area di quella parte del paraboloide z = x^2 + y^2 sta sopra al cerchio

ᠰけげ ∶               ᡶ⡰㎗ᡷ⡰≤ ᡰ⡰

D

dy dx

x

y

z

dS S

N