Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Soluzione.
Dal problema n. 2 si ottiene che la massa di questa piastra è uguale :

m x y zdS

S

=∫∫( + )

(^22)
Con S è indicato la superficie conica z = x^2 + y^2 che si trova dentro il cilindro x^2 + y^2 = a^2 ,
che si proietta nel piano xy nella zona D che è infatti il cerchio x^2 + y^2 ≤ a^2.
Calcoliamo prima le derivate parziali:
' 2 2 ,
x y
z x
x

• =
  2 2
  '
  x y
  z y
  y


• 
  

  =
  Applicando la formula (1) si ottiene :
  =∫∫ + + + + + + = ∫∫ +
  D D
  dx dy x y dx dy
  x y
  y
  x y
  m x y x y x^2223
  2 2
  2
  2 2
  2 2 2 2 2
  ( ) 1 2 ( )
  Passando nelle coordinate polari si ha:
  5
  22 2 5 2
  0 0
  m = π d θ a ρ^3 ρ d ρ= π a
  ∫ ∫^
  Nel caso in sui la superficie S è data dall’equazione y = y(x,z), vuol dire che è regolare rispetto
  all’asse y. In questo caso proiettando sul piano XZ si ottiene la formula:
  ( , , ) f(x, y(x, z), z) ( )' 1 ( )' dx dz
  Dxz
  2 2

  
  

∫∫ = ∫∫ x + + z

S

f x y z dS y y

Nel caso in sui la superficie S è data dall’equazione x = x(y,z) proiettando sul piano YZ si

ottiene la formula:

( , , ) f(x(y,z), y,z) 1 ( ) ( )' dy dz

Dxz

' 2 2

∫∫ = ∫∫ + y + z

S

f x y z dS x x

x

y

z

0

x^2 +y^2 = a^2

S