Questo integrale possiamo scrivere anche nelle forme equivalenti seguenti:
Φ= 㔉 ᠲぁ ᡖᡅ =
〠
㔉 ᠲ cos ‰ ᡖᡱ = 㔉 ᠲጘ∙ᡦ 䙒䙒䙒ጘ ∙ᡖᡅ = 㔉 䙦ᠲ⡩cos +ᠲ⡰cos ‐+ᠲ⡱cos ‑
〠䙧ᡖᡅ
〠Tutti questi integrali si dicono integrali del flusso.
Siccome : cos ∙ᡖᡅ = ᡖᡷ ∙ᡖᡸ, cos ‐∙ᡖᡅ = ᡖᡸ ∙ᡖᡶ , cos ‑∙ᡖᡅ =ᡖᡶ ∙ᡖᡷ
Si ha che il flusso è dato anche dall’ integrale di secondo tipo :
Φ= 㔉 ᠲ⡩∙ᡖᡷ ᡖᡸ +ᠲ⡰∙ᡖᡸ ᡖᡶ ㎗ᠲ⡱∙ᡖᡶ ᡖᡷ
〠Poniamo il problema in generale.
La superficie S si dice liscia se le funzioni parametriche o cartesiane di essa hanno derivate
continue in ogni suo punto. In altre parole esiste il piano tangente che si muove in modo continua
insieme con il suo punto di contatto. Per una superficie liscia esiste la retta perpendicolare in ogni
punto di essa e che si muove nel modo continuo insieme con il suo piede.
Sia P o un punto qualsiasi sulla superficie S. Sia n o la retta perpendicolare sulla S con il piede nel
punto P o. In questa retta scegliamo come positivo uno dei due possibili versi. Prendo una qualsiasi
curva chiusa L liscia sulla superficie S che passa per il punto P o. Partendo dalla posizione del punto
Po , faccio muovere un punto P insieme con la rispettiva perpendicolare orientata n lungo la curva L
finche si ritorna nella posizione iniziale P o. Per il verso della perpendicolare n o nel ritorno al punto
Po possiamo avere due possibilità:
1) Il verso coincide con il verso iniziale.
2) Il verso è opposto del verso iniziale.Po
P
LSnon