Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Teorema 3.

Se U = U(x, y, z) è una funzione primitiva della forma esatta Pdx + Qdy + Rdz , allora l’integrale

curvilineo non dipende dal percorso e si può calcolare dalla formula :

∫ + + = −

( ,, )

( , , )

0 0 0

0 0 0

( , , ) ( ,. )

XYZ

X Y Z

Pdx Qdy Rdz U x y z U x y z

Poniamo come costante C = U ( x 0 , y 0 , z 0 ) il valore della primitiva in punto iniziale

E 0 ( x 0 , y 0 , z 0 )allora si ottiene la formula seguente espressione della primitiva:

= ∫ + + +

( , , )

( 0 , 0 , 0 )

( , , )

XYZ

X Y Z

U x y z Pdx Qdy Rdz C

Il calcolo della funzione primitiva con questa formula chiede le conoscenze sull’integrazione

delle funzioni di più variabili. Noi troviamo una formula più semplice.

Sia E 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) un punto qualsiasi iniziale, mentre E (x, y, z) il punto generico.

Siccome l’integrale si può calcolare secondo un percorso qualsiasi.

Scelgo il percorso secondo la spezzata E 0 , E 1 , E 2 , E.
La retta E 0 E 1 , è data come intersezione di due piani, cioè come sistema:







=

=

0

0

y y

x x

con z 0 ≤ z ≤ z quindi







=

=

0

0

dy

dx

allora si ha :

∫ + + =∫

0 1 0

( 0 , 0 , )

EE

z

z

Pdx Qdy Rdz R x y z dz

Il segmento di retta E 1 E 2 , è data come intersezione di due piani, cioè come sistema:

x 0

x

y 0 y

z 0

z

°

°

E 1 (x 0 ,y 0 ,z) E 2 (x 0 ,y,z)

E 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 )

E(x,y,z)