BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

Diberikan suatu fungsi 푤=푓(푧) dikatakan analitik di titik 푧=푧

0

suatu

domain D jika 푓(푧) terdefinisikan dan dapat diturunkan pada setiap titik dari

D. Fungsi 푓(푧) analitik pada titik 푧=푧
0

di D apabila 푓(푧) analitik di dalam

lingkungan dari 푧
0

. Jadi keanalitikan 푓(푧) di 푧

0

berarti 푓(푧) mempunyai

turunan pada setiap titik didalam suatu lingkungan dari 푧

0

. Untuk menguji

keanalitikan suatu fungsi kompleks 푤=푓(푧)=푢(푥,푦)+푖푣(푥,푦) digunakan

persamaan Cauchy-Riemann.

Definisi 2

Fungsi 푤=푓(푧) dikatakan analitik di titik 푧

0

, jika 푓′(푧

0

) ada di 푧

0

dan ada

pada suatu lingkungan 푧
0

, sebaliknya jika 푓′(푧

0

) ada , belum tantu 푓 analitik

di 푧
0

.

Contoh 1:

Tunjukan apakah fungsi 푓

(

푧

)

=|푧|

2

Jawab:

Misalkan 푧=푥+푖푦 maka 푓

(

푧

)

=[√푥

2

+푦

2

]

2

=푥

2

+푦

2

Dari 푓(푧) dapat ditentukan

푢

(

푥,푦

)

=푥

2

+푦

2

dan 푣

(

푥,푦

)

= 0

푢

푥

= 2 푥 dan 푢

푦

= 2 푦

푣

푥

= 0 dan 푣

푦

= 0

Keenam fungsi kontinu dimana-mana, akan tetapi PCR hanya

terpenuhi pada kondisi 2 푥= 0 ⇒푥= 0 푑푎푛 2 푦= 0 ⇒푦= 0.

Hal ini menunjukan bahwa 푓′ hanya ada pada titik 푧= 0.

Akibatnya 푓(푧) tidak analitik.

Contoh 2:

Tunjukan apakah fungsi 푓

(

푧

)

=푥

2

−푦

2

analitik atau tidak

Jawab:

푓(푧) dapat ditentukan

푢(푥,푦)=푥

2

dan 푣(푥,푦)=−푦

2

푢

푥

= 2 푥 dan 푢

푦

= 0

푣

푥

= 0 dan 푣

푦

=− 2 푦

Keenam fungsi kontinu dimana-mana, akan tetapi PCR hanya

terpenuhi pada kondisi 푣

푥

=−푢

푦

⇒ 2 푥=− 2 푦⇒푦=−푥.

Hal ini menunjukan bahwa 푓′ hanya ada pada titik 푧= 0.

Akibatnya 푓(푧) tidak analitik.

Teorema 1