BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

Diketahui:

Bentuk umum deret diatas adalah

1

푛

2

+ 1

,

1

푛

2

+ 1

=푧

푛

Kita buat fungsi pembandingnya yaitu

1

푛

2

=푤

푛

Sehingga berdasarkan definisinya adalah

1

푛

2

+ 1

<

1

푛

2

Kemudian deret ∑

1

푛

2

∞

푛= 1

konvergen.

Bukti:

∑

1

푛

2

∞

푛= 1

=lim

푛→∞

1

푛

2

Gunakan integral, maka:

푓(푥)=

1

푥

2

∫

1

푥

2

푑푥=

∞

1

∫ 푥

− 2

푑푥

∞

1

=−(

1

∞

−

1

1

)=−

(

0 − 1

)

= 1 (Terbukti)

Karena ∑

1

푛

2

∞

푛= 1

konvergen, maka berdasarkan uji banding diperoleh

bahwa deret

∑

1

푛

2

+ 1

∞

푛= 1

juga konvergen.

5. Uji Konvergensi

Diberikan deret bilangan kompleks ∑ 푧

푛

∞

푛= 1

dengan 푧

푛

=푥

푛

+푖푦

푛

∶

푥

푛

,푦

푛

∊푹

(a)

∑

푧

푛

∞

푛= 1

konvergen jika dan hanya jika

∑

푥

푛

∞

푛= 1

dan

∑

푦

푛

∞

푛= 1

konvergen.

(b) jika

∑

푧

푛

∞

푛= 1

konvergen, maka lim

푛→∞

푧

푛

= 0.

(c) jika ∑ 푧

푛

∞

푛= 1

konvergen mutlak, maka ∑ 푧

푛

∞

푛= 1

konvergen,

artinya jika

∑

∣푧

푛

∣

∞

푛= 1

maka

∑

푧

푛

∞

푛= 1

konvergen.

Teorema di atas hanya akan dibuktikan bagian (a) dan (b),

sedangkan bagian (c) diberikan kepada para pembaca sebagai

latihan.

Bukti (a):

(⟹) misalkan deret ∑ 푧

푛

∞

푛= 1

konvergen ke 푎+푖푏, sehingga ∑ 푧

푛

∞

푛= 1

=

푎+푖푏. Akan ditunjukan bahwa deret

∑

푥

푛

∞

푛= 1

konvergen ke 푎 dan

deret

∑

푦

푛

∞

푛= 1

konvergen ke 푏. Menurut definisi diperoleh,

∑

푧

푛

∞

푛= 1

=

lim

푛→∞

푆

푛

=lim

푛→∞

(

∑

푥

푘

+

∑

푦

푘

)=푎+푖푏

∞

푛= 1

∞

푛= 1

Akibatnya diperoleh,

lim

푛→∞

∑

푥

푘

=푎

∞

푛= 1

dan lim

푛→∞

∑

푦

푘

=푏

∞

푛= 1

Karena ∑ 푥

푘

∞

푛= 1

dan ∑ 푦

푘

∞

푛= 1

berturut-turut merupakan jumlah bagian

dari

∑

푥

푛

∞

푛= 1

dan

∑

푦

푛

∞

푛= 1

, maka

∑

푥

푛

∞

푛= 1

dan

∑

푦

푛

∞

푛= 1

konvergen.