Sebelumnya kita telah mendefiniskan operator ∇ (del) dengan
∇≡
휕
휕푥
+푖
휕
휕푦
= 2
휕
휕푧̅
,∇
̅
≡
휕
휕푥
−푖
휕
휕푦
= 2
휕
휕푧
Dimana definisi yang setara dalam suku-suku koordinat sekawan 푧 dan 푧̇
berlaku.
Operator laplace didefinisikan sebagai hasil kali titik dengan dirinya sendiri,
yaitu
∇∘∇=푅푒{{∇
̅
∇}=푅푒{(
휕
휕푥
−푖
휕
휕푦
)(
휕
휕푥
+푖
휕
휕푦
)}}
=
휕
2휕푥
2+
휕
2휕푦
2= 4
휕
2휕푧휕푧̅
Perhatikan bahwa jika 퐴 analitik, ∇
2퐴= 0 ,∇
2푃= 0 dan ∇2푄= 0 maka 푃 dan푄 harmonik.
Contoh :
- Jika 퐴(푥,푦)= 7 푥
2푦−푖푥
3푦
2, laplacian dari 퐴 adalah?Penyelesaian :퐿푎푝푙푎푐푖푎푛 퐴=∇
2퐴
=푅푒{
{
∇
̅
퐴
}
=
휕
2퐴
휕푥
2+
휕
2퐴
휕푦
2=
휕
2휕푥
2( 7 푥
2푦−푖푥
3푦
2)+
휕
2휕푦
2( 7 푥
2푦−푖푥
3푦
2)}
=
휕
휕푥
( 14 푥푦− 3 푖푥
2푦
2)+
휕
휕푦
( 7 푥
2− 2 푖푥
3푦)
= 14 푦− 6 푖푥푦
2− 2 푖푥
3- Jika 퐴
(
푥,푦
)
= 2 푥
2푦
2−푖푥
3푦
3, tentukan 푙푎푝푙푎푐푖푎푛 (퐴)Penyelesaian :푙푎푝푙푎푐푖푎푛 (퐴)=푅푒(∇
̅
퐴)
=푅푒(
휕
2퐴
휕푥
2+푖
휕
2퐴
휕푦
2