Pedro Luiz de Oliveira Costa Neto - Estatística (2002, Editora Blucher) - libgen.lc

ESTIMADOR E ESTIMATIVA 61

ou densidade de probabilidade irá depender, evidentemente, da amostra considerada e do

valor do parâmetro 0 da população. Fixada a amostra, essa probabilidade ou densidade de

probabilidade será função de 0, dita função de verossimilhança correspondente a essa par-

ticular amostra. Essa função admite, em geral, um único ponto de máximo, o qual fornecerá

a estimativa de máxima verossimilhança do parâmetro 0.

Suponhamos, por exemplo, que uma caixa contenha dez bolas, das quais S são pretas
e 1 O -S são brancas. Uma amostra de quatro bolas com reposição é retirada dessa caixa,
verificando-se que ela contém três bolas brancas e uma bola preta. Vamos estimar o parâmetro
S pelo método da máxima verossimilhança. Para tanto, devemos determinar a função de
verossimilhança correspondente ao resultado amostral obtido, a qual será dada pelas
probabilidades de, em uma amostra de n = 4, sair exatamente uma bola preta, dadas em
função do parâmetro desconhecido S. Essas probabilidades podem ser obtidas pela aplicação
da distribuição binomial, ou pelo cálculo direto. Designando por !:f(S) a função de verossimi-
lhança, temos

:;e(S) = 4~(10-S)3 = _1 _S(10-S)3.

10 10 2.500

(4.6)

Na Tab. 4.1 temos os valores de !:f(S) calculados para todos os possíveis valores de S,

verificando-se imediatamente que o valor de máxima verossimilhança é S = 3, o qual será,

pois, a nossa estimativa.

níbela4. 1 Fu!}Ção de verossimilhança

s !:f(S) s Y:(5)

o o 6 384/2. 500

1 729/2.500 7 189/2. 500

2 1.024/2. 500 8 64/2. 500

3 1.029/2. 500 9 9/2. 500

4 864/2. 500 10 o

5 625/2. 500

Analisemos outro exemplo. Suponhamos que uma distribuição populacional é uniforme
entre O e M. Desejando-se estimar o parâmetro M, uma amostra aleatória de n valores
é retirada dessa população. Seja Xmax o maior valor obtido nessa amostra. Evidentemente,
M 2:: Xmax· A função densidade de probabilidade da distribuição uniforme que estamos
considerando é

(4. 7)

Sendo a amostra aleatória, seus diversos valores serão independentes, a todos corres-
pondendo a mesma densidade de probabilidade. Portanto a função de verossimilhança cor-
respondente a uma amostra genérica será dada pelo produto puro e simples das densidades
de cada valor da amostra, isto é,

:;e(M) = (J...)n = 1.

M Mn

(4.8)