Pedro Luiz de Oliveira Costa Neto - Estatística (2002, Editora Blucher) - libgen.lc

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Exemplo

Solução

ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

Considerando-se que uma amostra de cem elementos extraída de uma população

aproximadamente normal, cujo desvio-padrão é igual a 2,0, forneceu média

x = 35,6, construir um intervalo de 95% de confiança para a média dessa

população.

Sem dúvida, podemos considerar a distribuição de x como praticamente nor-

mal. O único dado faltante para aplicarmos a expressão ( 4.22) seria za1 2 .,

Na Tab. :A.6.1 dã"distribuição. normal,reduzida vemos, porém, im,ediatamente

que za1 2 = z 2 ,s% = 1,96. Logó,

· e 0 = 1,96 ✓i·i 0 = 0,392

e Q intervalo de confiança será 35,6 ± 0,392, indicando que

P(35,208 :S μ :S 35,992) = 0,95.

4.4.2 Intervalo de confiança para a média da população quando ué

desconhecido

Vejamos agora como proceder para construir o intervalo de confiança para a média μ da

população quando o desvio-padrão populacional é também desconhecido, o que, em geral,

ocorre nos problemas práticos.

Ora, se desconhecemos a, devemos estimar seu valor com base na amostra disponível.

Devemos adotar como estimativa o desvio-padrão da amostra, definido por

S = I/!_1-^1 (x- 1 - x)^2

X n-1

(4.24)

Entretanto a subtituição pura e simples de a por Sr na expressão 4.22 certamente leva-

ria a um grau de incerteza maior na construção do intervalo de confiança, pois Sr é apenas

uma estimativa de a, sujeito, portanto, à incidência do erro de estimação. Há, portanto, que

se proceder a uma correção desse intervalo, a qual, certamente, fará o intervalo crescer em

amplitude, para compensar o efeito dessa maior incerteza. Essa correção é feita mediante o

uso da distribuição t de Student com n -1 graus de liberdade, apresentada em 3.4.5.l^14 l De

fato, a expressão (3.22) fornece o seguinte relacionamento entre as variáveis tez:

a

tn-1 P = Zp-,

' s

onde n -1 é o número de graus de liberdade da estatística s.

(4.25)

P^4 lAntes de W. S. Gosset haver dado sua importante contribuição à teoria estatística com a introdução da

distribuição t de Student, considerava-se, pelo conhecimento empírico, que o intervalo de confiança para μ

quando aé desconhecido podia ser, com boa aproximação, calculado pela expressão (4.22) substituindo-se

a por Sx para amostras grandes, assim entendidas se n ~ 30. De fato, vemos na Tab. A.6.3 que, nessa

condição, os valores do t de Student já são bastante próximos dos dez, justificando esse procedimento.

Consideramos, entretanto, que, após a introdução da distribuição t de Student, essa distinção entre amostras

grandes e pequenas deixou de fazer sentido.