250 Chapter 9Functions of several variables
the slopes of the tangent lines to the curve DPE. The two tangent lines at point P in
Figure 9.3 therefore represent the rates of change of the functionz 1 = 1 f(x,y), with∂z 2 ∂x
for the rate of change along the x-direction and∂z 2 ∂yfor the rate of change along the
y-direction.
The two tangent lines at P in Figure 9.3 define the tangent planeat P; that is, the
plane that touches the representative surface of the function only at the point P. Every
other line through P in the tangent plane is then also a tangent line and its slope is the
derivative of the function in some direction. Such a derivative can be expressed in
terms of the ‘standard’ derivatives∂z 2 ∂xand∂z 2 ∂y.
In Figure 9.4, the distance ralong the direction at angle θto the x-direction is given by
the pair of ‘parametric equations’
x 1 = 1 r 1 cos 1 θ, y 1 = 1 r 1 sin 1 θ (9.4)
and the derivative of the functionz 1 = 1 f(x, y)along this r-direction is
(9.5)
(see Example 9.17).
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
z
r
z
x
z
y
cosθθsin
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o
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yx
z
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..x
y
z
p
a
b
c
d
e
f
Figure 9.3
θ
x
y
r
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..........∂z/∂x
∂z/∂y
o
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Figure 9.4