CORREIO
O livro de Feller afirma que, num caminho aleatório bidimensional numa
grade quadriculada, a probabilidade de que acabemos por retornar à
origem é igual a 1, mas numa grade cúbica tridimensional a probabilidade é
menor que 1, ao redor de 0,35. Diversos leitores observaram que o
número apresentado no livro de Feller não está inteiramente correto. David
Kilbridge, de São Francisco, contou-me que, em 1930, o matemático inglês
George N. Watson definiu o valor como
onde K(z) é 2/π vezes a integral elíptica completa do primeiro tipo com
módulo igual a z^2.
Se você não sabe o que é isso, provavelmente não quer saber! Só para
constar, as funções elípticas são uma grande generalização clássica de
funções trigonométricas com o seno e cosseno, que estiveram muito em
voga um século atrás e ainda são interessantes em diversos contextos.
Porém, hoje raramente são estudadas nos cursos de graduação em
matemática.
O valor numérico é de aproximadamente 0,34055729551, que se
aproxima mais de 0,34 que do número fornecido por Feller, 0,35.
Kilbridge também calculou a resposta à minha pergunta sobre a
probabilidade de os dados finalmente se igualarem: eles o fazem com
probabilidade de aproximadamente 0,022. Para “dados” com 2, 3, 4 e 5
faces as probabilidades análogas são de 1, 1, 0,222 e 0,066.
Yuichi Tanaka, um dos editores da nossa tradução para o japonês, usou
um computador para calcular a probabilidade de retorno à origem numa
grade hipercúbica quadridimensional. Depois de trabalhar por três dias
consecutivos, o programa emitiu o valor aproximado de 0,193201673.
Existe uma fórmula como a de Watson? Temos algum especialista em
funções elípticas por aí?