UMA CLASSIFICAÇÃO - AMOSTRAS DE MESMO TAMANHO 153
Vemos, do exemplo anterior, que, sendo falsa a hipótese H 0 , haverá uma tendência aque s}e si superestimem cr^2 , o que não ocorrerá com s~. Inversamente, se H 0 for verdadeira,
s}, si e s~ fornecerão estimativas justas para a variância comum cr^2 • ·
Temos aí o ponto em que se apóia o método da Análise de Variância. Veremos a seguir
que, sendo H 0 verdadeira, as estimativas si e s~ serão independentes, podendo-se compará-
las mediante um teste F.
De fato, das relações obtidas em (7.4), (7.5) e (7.7), vemos facilmente que:SQT = SQE + SQR (7.8)
Por outro lado, a relação (3.16), vista no Cap. 3, indica que, se dividirmos uma soma
de quadrados correspondente ao numerador de uma estimativa de variância pela variância
teórica, obteremos uma variável x^2 com os correspondentes graus de liberdade. Logo, se
dividirmos os três termos de (7.8) pela variância cr^2 teremos, no primeiro membro, um
X~k-t, que é desdobrado, no segundo membro, em duas parcelas, Xl-t e Xl(n-t)· Como
nk - 1 = (k - 1) + k (n -1), resulta, pela propriedade vista em 7 .1.1, que os x2 do segundo
membro são independentes. Logo, também o serão SQE e SQR e, conseqüentemente, si e
s~. Deve-se notar que essa independência só existirá se H 0 for verdadeira, pois, caso contrário,
s} e si não estimarão cr^2 •
Como conseqüência do que foi visto, podemos, portanto, substituir a hipótese H 0 origi-nal pela hipótese de que si e s~ estimem a mesma variância cr2, ou seja, ~ = cr2, onde ~
é a variância estimada por si. Essa hipótese pode ser testada, de modo análogo ao visto na
Sec. 5. 7, mediante
(7.9)Esse teste F será conduzido com k - 1 graus de liberdade no numerador e k (n - 1) nodenominador, ou seja, H 0 será rejeitada se F > Fk- 1 • k(n _ 1 l, ª, onde a é o nível de significância
escolhido para o teste. O procedimento de teste será sempre unilateral, pois, sendo H 0 falsa,
Ftenderá sempre a crescer. De fato, se considerarmos o modelo fixo da Análise de Variância,
pode-se mostrar que, independentemente de H 0 , si estima
<1E^2 =CT^2 +--.1.,· n .._, k 1u· ,:,2
k=l^1 ;^1(7.10)onde os Si tem o significado expresso em (7.3). A expressão (7.10) mostra que, se H 0 for
verdadeira, si, assim como s~. estimará cr^2 , ao passo que, se H 0 for falsa, si estimará
~ > cr^2 , Vemos imediatamente que, se obtivermos F < 1, tal fato somente poderá ser atri-
buído ao acaso, e a hipótese H 0 deverá ser automaticamente aceita.
Ao se fazer a Análise de Variância, é usual e recomendável dispor os cálculos segundo
o chamado "quadro" da Análise de Variância, conforme mostrado na Tab. 7.1. Essa prática
é, em geral, adotada pelos sqftwares estatísticos.
Antes de iniciar os cálculos, codificações lineares poderão ser utilizadas por facilidade,
sem influenciar o resultado final. Isso se deve ao fato de que uma codificação linear afetará
igualmente si e s~. mantendo F inalterado)^41
l^4 l Nesse caso, entretanto, deve-se lembrar que o valor de SJ1 precisa ser convenientemente corrigido para
poder ser usado isoladamente, como, por exemplo, para se fazerem comparações múltiplas (ver 7.6).