Pedro Luiz de Oliveira Costa Neto - Estatística (2002, Editora Blucher) - libgen.lc

ESTIMACÃO POR INTERVALO 73

por amostragem do correto estimador de a, pois decorre imediatamente do resultado obtido

em 4.4.3 que, com probabilidade 1 -a, temos

(n -l)s^2 < < (n -l)s^2

2 _(j_ 2

Xn-1, a/2 Xn- 1, 1-a/2

(4.33)

Um método aproximado pode ser usado, alternativamente, no caso de amostras grandes

(n > 30, digamos). Consiste em construir o intervalo de confiança para a usando a expressão

S (15)

S±Za12 J •

'\J2(n-1)

(4.34)

4.4.5 Intervalo de confiança para uma proporção populacional..

Foi visto em 3 .4 .2 que uma freqüência relativa amostral p' apresenta uma distribuição do

tipo binomial, cuja média é o próprio parâmetro populacional p e cuja variância é dada por

p(l -p)ln. Sendo np ~ 5 e n(l -p) ~ 5, podemos em geral aproximar essa distribuição pela

distribuição normal. Como desconhecemos p, adotaremos como condições de aproximação

np'~5en(1-p') ~5.

Portanto, sendo a amostra suficientemente grande para satisfazer as condições prece-

dentes e considerando-se que p' é o estimador que usaremos para p, podemos chegar à

expressão do intervalo de confiança para p. O intervalo será da forma p' ± e 0 e, por um

raciocínio semelhante ao que foi feito no caso da estimação de μ, chega-se facilmente a

e -z ✓p(l-p)

O - a/2 n · (4.35)

Note-se que essa expressão é em tudo análoga à (4.22), pois alfn é o desvio-padrão

do estimador x, e .Jp(l-p)I n é o desvio-padrão do estimador p'.

O único obstáculo ainda existente para o cálculo de e 0 está em que o parâmetro desco-

nhecido p aparece na expressão (4.35). Podemos, entretanto, simplesmente, substituir p

por sua estimativa p'. Isso se justifica com boa aproximação, pois, sendo a amostra já

razoavelmente grande para haver satisfeito as condições de aproximação pela normal, a

estimativa deve ser razoavelmente próxima do valor real do parâmetro. Ademais, o even-

tual erro a mais que poderíamos cometer ao substituir p por p' seria em boa parte compensado

pelo erro a menos que, então, cometeríamos ao substituir 1 -p por 1 -p', e vice-versa, o

que torna ainda mais justificável a aproximação feita[^16 1.

[^151 Uma justificativa dessa expressão pode ser encontrada, por exemplo, na Ref. 22.

[tõJ Se as condições de aproximação pela normal não forem satisfeitas, deve-se, em princípio, construir o

intervalo de confiança com base na distribuição binomial. Não nos detivemos na análise desse caso por ser

de menor importãncia na prática. Por outro lado, Fisher apresenta uma alternativa para a obtenção do

intervalo na qual se consegue a aproximação pela normal com menores tamanhos de amostra, através da

transformação 8 = are sen {j1. O intervalo é então construído em termos de 8, cujo desvio-padrão pode ser

considerado como praticamente dado por✓ 820, 7 ln, realizando-se a transformação inversa, a seguir. Note-

se também que aqui caberia, a rigor, uma correção de continuidade, conforme mencionado em Al.4.5, no

Ap. 1. Entretanto tal correção não foi considerada, nem tanto por simplicidade, porém mais porque podem

ser desprezados seus efeitos para amostras grandes e do ponto de vista da manutenção do nível de confiança

do intervalo.