The Chemistry Maths Book, Second Edition

8.3 Graphical representation 231

is obtained by completing the parallelogram OPSQ. Point S has coordinates (x

1

1 + 1 x

2

,

y

1

1 + 1 y

2

) and therefore represents the sum. Similarly for subtraction; the difference

z

1

1 − 1 z

2

is the sum ofz

1

and−z

2

.

Multiplication and division

The operations of multiplication and division are the more easily described when the

numbers are expressed in polar form. If

z

1

1 = 1 r

1

(cos 1 θ

1

1 + 1 i 1 sin 1 θ

1

), z

2

1 = 1 r

2

(cos 1 θ

2

1 + 1 i 1 sin 1 θ

2

) (8.18)

then

z

1

z

2

1 = 1 r

1

r

2

(cos 1 θ

1

1 + 1 i 1 sin 1 θ

1

)(cos 1 θ

2

1 + 1 i 1 sin 1 θ

2

)

= 1 r

1

r

2

[(cos 1 θ

1

1 cos 1 θ

2

1 − 1 sin 1 θ

1

1 sin 1 θ

2

) 1 + 1 i(cos 1 θ

1

1 sin 1 θ

2

1 + 1 sin 1 θ

1

1 cos 1 θ

2

)] (8.19)

= 1 r

1

r

2

[cos(θ

1

1 + 1 θ

2

) 1 + 1 isin(θ

1

1 + 1 θ

2

)]

It follows that the product of two complex numbers has modulus equal to the product

of the moduli of the numbers, and has argument equal to the sum of the arguments:

|z

1

z

2

| 1 = 1 |z

1

| 1 × 1 |z

2

|, arg 1 (z

1

z

2

) 1 = 1 arg 1 (z

1

) 1 + 1 arg 1 (z

2

) (8.20)

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S(z

1

+z

2

)

x

y

• 
  


• 
  


• 
  

P(z

1

)

Q(z

2

)

O

x

1

x

2

y

2

y

1

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Figure 8.4

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z

1

z

2

r

1

r

2

x

y

• 
  


• 
  


• 
  

z

1

z

2

r

1

r

2

θ

1

+θ

2

θ

2

θ

1

o

.

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Figure 8.5