438 Chapter 15Orthogonal expansions. Fourier analysis
Fourier transform pairs
Equations (15.79) and (15.80) are conventionally written in the more symmetrical
form by means of the substitution Then
(15.81)
(15.82)
Two functions that are related by equations (15.81) and (15.82) are called a pair of
Fourier transforms. The function gis called the Fourier transform of the functionf,
andfis called the (inverse) Fourier transform of g. In general, the Fourier transform
of a functionf(x)exists if the function is piecewise continuous and if it is absolutely
integrable; that is, if
Three of the important elementary Fourier transform pairs are illustrated in
Figure 15.14.
Z
−
+
||
∞
∞
fx dx( ) exists
gy fxe dx
ixy
()= ()
−
+
−
1
2 π
Z
∞
∞
fx gye dy
ixy
()= ()
−
+
1
2 π
Z
∞
∞
gy()= 2 πw().y
−a 0 +a
(a)
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f(x)=
{
A for −a<x<a
0 otherw ise
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g(y)=
2 Aa
√
2 π
(
sinay
ay
)
(b)
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f(x)=e
−ax
2
, for a> 0
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g(y)=
1
√
2 a
e
−y
2
/ 4 a
(c)
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f(x)=e
−ax
, for x> 0 ,a> 0
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Re g(y)=
1
√
2 π
(
a
a
2
+y
2
)
Figure 15.14