The Chemistry Maths Book, Second Edition

(Grace) #1

438 Chapter 15Orthogonal expansions. Fourier analysis


Fourier transform pairs


Equations (15.79) and (15.80) are conventionally written in the more symmetrical


form by means of the substitution Then


(15.81)


(15.82)


Two functions that are related by equations (15.81) and (15.82) are called a pair of


Fourier transforms. The function gis called the Fourier transform of the functionf,


andfis called the (inverse) Fourier transform of g. In general, the Fourier transform


of a functionf(x)exists if the function is piecewise continuous and if it is absolutely


integrable; that is, if


Three of the important elementary Fourier transform pairs are illustrated in


Figure 15.14.


Z



+

||




fx dx( ) exists


gy fxe dx


ixy

()= ()



+


1


2 π


Z




fx gye dy


ixy

()= ()



+

1


2 π


Z




gy()= 2 πw().y


−a 0 +a


(a)


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f(x)=


{


A for −a<x<a


0 otherw ise


.......

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g(y)=


2 Aa



2 π


(


sinay


ay


)


(b)


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f(x)=e


−ax

2

, for a> 0


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g(y)=


1



2 a


e


−y

2

/ 4 a

(c)


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f(x)=e


−ax

, for x> 0 ,a> 0


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Re g(y)=


1



2 π


(


a


a


2

+y


2

)


Figure 15.14

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