VII. Integrali di superfice

Prof. Mehdi Shkreli VII Capitolo Integrale di superficie. La superficie S è liscia vuol dire che in ogni suo punto esiste il pia ...

Problema 3. Trovare i momenti statici della piastra materiale S con la densità di superficie μ(x,y,z) rispetto ai piani xy, xz, ...

Quindi 푋퐺=푚^1 ⋅ (^) ∫∫푆푥⋅휇(푥,푦,푧) 푑푆 푌퐺=푚^1 ⋅ (^) ∫∫푆푦⋅휇(푥,푦,푧) 푑푆 푍퐺=푚^1 ⋅ (^) ∫∫푆푧⋅휇(푥,푦,푧) 푑푆 dove 푚=⋅ ∫∫푆휇(푥,푦,푧) 푑푆 Nel cas ...

Infatti: Basta scomporre l’ultimo integrale in tre integrali e si ottiene: Io = Ixy + Ixz + Iyz. Calcolo dell’integrale di super ...

Calcolo l’area: 푑푠=|푑푆⃗⃗⃗⃗^ 푢 |∙|푑푆⃗⃗⃗⃗^ 푣 |∙푠푖푛훼=|휕푢휕푆∙ 푑푢|∙|휕푣휕푆∙ 푑푣|∙sin훼=(|푆푢′ |∙|푆푣′|∙sin훼) 푑푢 푑푣 (*) Poniamo che il prodot ...

|푁⃗⃗^ | 2 =|푆⃗⃗⃗푢⃗′^ ×푆⃗⃗⃗푣′^ | 2 =(|푆⃗⃗⃗푢⃗′^ |∙ |푆⃗⃗⃗⃗푣′^ |∙푠푖푛 훼)^2 =|푆⃗⃗⃗⃗푢′^ | 2 |푆⃗⃗⃗푣′^ | 2 ( 1 −푐표푠^2 ∝)=|푆⃗⃗⃗⃗푢′^ | 2 |푆 ...

퐼=∫∫ 푥^2 +푦^2 푧^2 푑푆 푆 =∫∫ 1 푢^2 √(푣^2 + 1 )푢^2 −(푢푣)^2 푑푢푑푣 퐷 =∫∫ 1 푢 푑푢푑푣 퐷 I=∫ 12 du∫ 1 u^1 udv=∫ (^12) u^1 du∫ 1 udv=∫ 12 u− ...

mentre l’integrale di superficie di primo tipo si calcola con l’aiuto dell’integrale doppio con la formula: ∫∫푆푓(푥,푦,푧) 푑푆= ∫∫퐷x ...

Calcoliamo questo integrale doppio passando nelle coordinate polari: { 푥=휌 푐표푠휃 푦=휌 푠푖푛휃^ con^0 ≤휃≤^2 휋^ 푒^0 ≤휌≤푟^ 퐴푟푒푎 (푆)= ∫ 푑 ...

Nel caso in sui la superficie S è data dall’equazione x = x(y,z) proiettando sul piano YZ si ottiene la formula: ∫∫푓(푥,푦,푧) 푑푆 푆 ...

Nel caso in cui il vettore velocita 퐹^ è perpendicolare con 풏⃗⃗ , cioè 휑=90°, il flusso vale zero. Calcoliamo il flusso dell’acq ...

Sia Po un punto qualsiasi sulla superficie S. Sia no la retta perpendicolare sulla S con il piede nel punto Po. In questa retta ...

Sia dS un pezzo infinitesimale e siano i prodotti dy dz, dz dx, dx dy, le sue proiezioni sui piano coordinativi rispettivamente ...

∫∫푃푑푦푑푧+ 푆 푄푑푧푑푥+푅푑푥푑푦 =±∫∫ (푃,푄,푅)⋅ (푆푢 → ×푆푣 → )⋅푑푢푑푣 푆푈푉 nel membro destro sotto il segno dell’integrale doppio abbiamo un pr ...

I = ∫∫푆푈푉[ 20 푢+ 40 푣+ 24 ] 푑푢푑푣=∫ 01 푑푢 (^) ∫ 01 −푢[ 20 푢+ 40 푣+ 24 ] 푑푣=....... 2° Caso. La superficie orientata S è dato con ...

퐼 2 =∫∫푆푑푥푑푧=∫∫푆푍푌푑푥 푑푧=휋 4 푟^2 , questo integrale ci da l’area della zona SZX , cioè un quarto dell’area del cerchio. 퐼 3 =∫∫푆푥 ...

4. Legame tra integrale di superficie e l’integrale di linea. Formula di Stokes. Sia S una superficie con due facce chiusa e lis ...

퐶표푠(푁⃗⃗^ ,푍)=^1 √ 1 +(푍푋′)^2 +(푍푌′)^2 , mentre il rapporto 퐶표푠(푁 ⃗⃗ (^) ,푌) 퐶표푠(푁⃗⃗^ ,푍)=−^ 푍푌 ′ Trasformiamo adesso l’integrale ...

5. Funzione primitiva nello spazio. Siano P = P (x, y, z), Q = Q (x, y, z), R = R (x, y, z) tre funzione definite, con le deriva ...

Esercizio 1. Dimostrare che l’espressione 푥 푑푥+(푦+푧) 푑푦+(푦+ 2 푧) 푑푧 è una forma differenziale esatta per ogni punto (x,y,z) dell ...