Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

La fonction de distribution normale cumulative d’une variable aléatoire X au point x est définie comme la probabilité que X aura ...

sur l’intervalle [ 0 ,t] et yt 1 et yt 2 sont les rendements sur [ 0 ,t 1 ] et [t 1 ,t] respective- ment alors yt= yt 1 +yt 2 po ...

On sait que : St=S 0 eyt= S 0 eμt+σ tZ=S 0 eμteσ tZ avec Z ∼N( 0 , 1 ) Cette relation montre que le taux de rendement de l’actio ...

2.La spécification d’une probabilité risque neutre à partir des facteurs d’actualisation stochastiques La probabilité risque neu ...

=^1 2 +^1 2 erf ( Lnx−μ σ 2 ) Tous les moments existent, l’espérance et la variance sont données par les expres- sions suivantes ...

tés réelle fS et la fonction de densité de probabilité risque neutre fQ vérifient ces deux dernières équations. Il ressort que : ...

Partant du fait que, St S 0 =eyt, ou de manière équivalente yt=log ( St S 0 ) , il est possi- ble d’établir une relation entre l ...

tions possibles des prix St dans l’intervalle [ 0 ,∞) ne dépendent que de l’actif considé- ré à travers son prix courant S 0 et ...

On sait que y =log S S 0 C= e−rftS (^0) ∫ +∞ logSE 0 ( ey− E S 0 ) Φt(y)dy Après distribution, on obtient la différence de deux ...

∫ +∞ logSE 0 eyΦt(y)dy = ∫ +∞ logSE 0 eμt+0,5σ^2 t^1 σ 2 πt e 2 ytσ^2 t−y^2 t+ 2 μtyt−μ^2 t^2 2 σ^2 t e−μt−0,5σ^2 tdy = ∫ +∞ log ...

En définitive, on obtient : ∫ +∞ logSE 0 eyΦt(y)dy =eμt+0,5σ^2 tN −logSE 0 +μt+σ^2 t σ t On calcule maintenant la deuxième intég ...

C= e−rftS 0 eμQt+0,5σ^2 tN −logSE 0 +μQt+σ^2 t σ t −e−rftEN −logSE 0 +μQt σ t μQt =rft−0,5σ^2 t On remplace μQ par sa valeur, il ...

On considère le cadre d’analyse de Black-Scholes. On note par S(t) le prix de l’action au temps t, t ≥ 0. On définit X(t) =Ln[S( ...

∞ ∑ j= 1 X(jT n ) −X ( (j−^1 )T n ) 2 = μ^2 T 2 n^2 − 2 μT n ∞ ∑ j= 1 Z(jT n ) −Z ( (j−^1 )T n ) Z(T)−Z( 0 ) + σ^2 ∞ ∑j= 1 Z( jT ...

Exemple : On considère le cadre d’analyse de Black-Scholes, on donne les informa- tions relatives à la variance et à la variance ...

Var[αdt+σdZ(t)∣ Z(t)]= Var[σdZ(t) ∣Z(t)] =σ^2 Var[dZ(t)∣ Z(t)] = σ^2 Var[dZ(t)] pour des incréments indépendants. σ^2 Var[dZ(t)] ...

df(Y(t))=f′( Y(t))dY(t)+ 1 2 f′′ ( Y(t))[dY(t)]^2 ; car ∂ ∂t f(x)= 0 Si f(x) =Lnx, alors f′( x)= 1 x et f′′ ( x)=−[ 1 X] 2 . Ain ...

Solution: On applique le lemme d’Ito: (i)dU(t)= 2 dZ(t)− 0 = 0 dt+ 2 dZ(t), ce processus a un zéro drift. (ii) dV(t) =d[Z(t)]^2 ...

LE MODELE DE BLACK-SCHOLES-MERTON On considère un marché constitué de trois actifs appartenant à des classes différentes, une ac ...

C(S+dS,t+dt))=C(S,t)+∂∂CSdS+∂∂Ct dt+^12 ∂ (^2) C ∂t^2 dt (^2) +^1 2 ∂^2 C ∂S^2 (dS) (^2) +^1 2 ∂^2 C ∂t∂Sdt×dS+o(dt) Le temps ét ...