Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

Solution: On applique le lemme d’Ito: (i)dU(t)= 2 dZ(t)− 0 = 0 dt+ 2 dZ(t), ce processus a un zéro drift. (ii) dV(t) =d[Z(t)]^2 ...

LE MODELE DE BLACK-SCHOLES-MERTON On considère un marché constitué de trois actifs appartenant à des classes différentes, une ac ...

C(S+dS,t+dt))=C(S,t)+∂∂CSdS+∂∂Ct dt+^12 ∂ (^2) C ∂t^2 dt (^2) +^1 2 ∂^2 C ∂S^2 (dS) (^2) +^1 2 ∂^2 C ∂t∂Sdt×dS+o(dt) Le temps ét ...

E(dC)= ∂C ∂t dt+SμS ∂C ∂S dt+ 1 2 S^2 σS^2 ∂^2 C ∂S^2 dt E(dC)= ( ∂C ∂t +SμS ∂C ∂S + 1 2 S^2 σS^2 ∂^2 C ∂S^2 ) dt Or on sait que ...

dS−E(dS)= SμSdt+SσSεS dt−SμSdt−σSE(εS) dt = 0 dS−E(dS)= SσSεS dt On reprend l’expression de dC obtenue par les expansion de Tayl ...

On remarque que la volatilité de l’option est toujours supérieure à la volatilité de l’action puisque dans le cas d’un call ΔC = ...

Les dynamiques pour l’action: dS(t)=S(t)μdt+S(t)σdZ(t) Le prix de l’action suit une loi lognormale, ses dynamique sont décrites ...

dLnS(t) =(μ−^1 2 σ^2 )dt+σdZ(t) On a supposé au départ que f(S(t))= LnS(t) pour revenir au prix du sous-ja- cent, On pose, X(t) ...

L’argument de Black-Scholes consiste à répliquer le revenu d’un titre en fonction des deux autres titres par la constitution d’u ...

Pour avoir un portefeuille sans risque on doit éliminer les termes en dZ. Ceci est équivalent à écrire: Δ(t)σS(t)+β(t)σS(t)∂C ∂S ...

La solution de cette équation différentielle pour une option call européenne avec un prix d’exercice K et un temps jusqu’à matur ...

ε ≤ LnSK(t) +(μ−^12 σ^2 )(T−t) σ T−t Dans un monde risque neutre μ= r On sait que: d 2 = LnSK(t) +(r −^12 σ^2 )(T−t) σ T−t d 2 = ...

E[S(T)S(T)≥K]= ∫ d 2 −∞ S(T)^1 2 π e−^12 ε^2 dε avec n(ε)=^1 2 π e−^12 z^2 dε est la densité de probabilité d’une loi normale ce ...

Dérivation simplifiée du modèle de Black-Scholes: C(S(t),t) =EtQ[e−r(T−t)max[ 0 ;S(T)−K]∣ 픽t] C(S(t),t) =EtQ [ e−r(T−t)max[ 0 ;S ...

On remarque que dε = d(ε−σ T−t) C(S(t),t) =S(t)N(−(ε−σ T−t))−e−r(T−t)KN(−ε) C(S(t),t) =S(t)N(σ T−t −ε)e−r(T−t)−KN(−ε) On pose d ...

C(S(t),t) =S(t)N(d 1 )−e−r(T−t)KN(d 2 ) avec d 1 = LnSK(t) +(r +^12 σ^2 )(T−t) σ T−t et d 2 =d 1 −σ T−t d 1 = Log( 30 / 29 )+(0, ...

S−Ke−rT = 30 − 29 ×e−0,05×^4 /^12 = 1,48 La relation de parité est bien vérifiée. 5.La valeur actuelle du montant du dividende d ...

K( 1 −e−r(T−ti))= 29 ×( 1 −e−0,05(^4 /^12 −1,5/^12 )) =0,3 Ceci est inférieur au montant du dividende qui est de 0,5. Par conséq ...

Exemple : Dans une économie arbitrée où le modèle de Black et Scholes est valide, on considère l’acquisition de 100 options d’ac ...

risque composé en continu est 5%. Calculer le prix du bloque de 100 op- tions. Solution: C(S,K,T,σ,r,δ)= Se−δTN(d 1 )+Ke−rTN(d 2 ...